微分方程复习要点

1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法．xxfyygd)(d)(1类型．)()(ygxfy2)一阶线性微分方程类型．)()(xQyxPy解法．CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型．xyyxfy),(解法令，则．原方程变为xyuxuxuxydddd．uuxux)(dd4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型．)1,0()()(，yxQyxPy解法令，则原方程变为1yz，)()1()()1(ddxQzxPxz2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．n新方程是一个一阶微分方程．1)类型．)()(xfyn2)类型．),(yxfy方法令，则原方程转变为py，),(pxfp新方程是一个一阶微分方程．3)类型．),(yyfy方法令，则原方程转变为py，),(ddpyfypp3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴．)()()(xfyxQyxPy⑵0)()(yxQyxPy1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解21,yy．2211yCyCy的一个特解．．*2211yyCyCy2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解*y3)若是方程的特解，)()()(xfyxQyxPyi*iy则为方程*2*1yy)()()()(21xfxfyxQyxPy4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为0qyypy．02qprr则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为21rr；xrCxCy1e)(21③若方程有一对共轭复根，则方程的通i2,1r．)sincos(e21xCxCyx解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解，)(exPqyypymx，)(e*xQxymkx其中是一个与同次的多项式，而)(xQm)(xPm，，，210k若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．②设方程则方程有特解，]sin)(cos)([exxPxxPqyypymlx，]sin)(cos)([e21*xxRxxRxynnxk其中是次的多项式，，而)(),(21xRxRnnn},max{lmn按是否为特征方程的根而分别取1或0．ki二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln||(ln41||ln．xCxy)4(4解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．0tanyxyxyx32xy．xyxyytan作变换，则有xyu，uuxuxutandd移项，得两边积分，得，xxuuud1dsincos，Cxuln||ln|sin|ln将代入，有xyu，xCxysin即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为32xy1C，xxy1sin．xxy1arcsin解原方程变形为即例3求微分方程的通解．0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx由求解公式得．6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．32232yyxxyy解法1此方程为齐次方程，作代换，则有uxy，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322故方程的通解为即由于，Cxuuuuln||ln3d)1(2322uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21||ln2Cuu，3221xCuu．Cyxy222解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得．422Cyyx，132ddyxxyyx此方程为贝努利方程，此时令，则有2xz，yzyyz64dd，42Cyyz例5求解下列方程即方程的解为，1lnlnlnCxp1.；2.．0yyxyyy3解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即所以，方程的通解为，xCxy1dd．21lnCxCy方程变形为即有．0)1dd(2pypp2.此方程中不含变量，作变换，则xyp，yppxydddd22，＝ppypp3dd解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解．xCCye)sin(21由，得方程的解为．由0pCy，01dd2pyp，1arctanCyp，)tan(1Cyy，21ln|)sin(|lnCxCy例6求下列方程的通解解1.特征方程为．xxCCy2521e)(解得，由此得到方程的通解2521rr，0252042rr1.；2.；025204yyyxxyy2e23.．xxyycos4则．xCCy221e2.特征方程为，因而齐次方程的通解为022rr由于为单根，故可设方程的特解为2，xbaxxy2*e)(，xbxbaaxy22*e])22(2[，xbaxbaaxy22*e]42)48(4[代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为，，2141ba．xxy2*e)2(41．xxxCCy2221e)2(41e代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(*3.特征方程为，解得，所以齐次方042ri22,1r程的通解为．xCxCy2sin2cos21注意到不是特征方程的根，故方程的特解可ii设为，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223(1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法．xxfyygd)(d)(1类型．)()(ygxfy2)一阶线性微分方程类型．)()(xQyxPy解法．CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型．xyyxfy),(解法令，则．原方程变为xyuxuxuxydddd．uuxux)(dd4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型．)1,0()()(，yxQyxPy解法令，则原方程变为1yz，)()1()()1(ddxQzxPxz2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．n新方程是一个一阶微分方程．1)类型．)()(xfyn2)类型．),(yxfy方法令，则原方程转变为py，),(pxfp新方程是一个一阶微分方程．3)类型．),(yyfy方法令，则原方程转变为py，),(ddpyfypp3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴．)()()(xfyxQyxPy⑵0)()(yxQyxPy1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解21,yy．2211yCyCy的一个特解．．*2211yyCyCy2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解*y3)若是方程的特解，)()()(xfyxQyxPyi*iy则为方程*2*1yy)()()()(21xfxfyxQyxPy4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为0qyypy．02qprr则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为21,rr；xrxrCCy21ee21②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为21rr；xrCxCy1e)(21③若方程有一对共轭复根，则方程的通i2,1r．)sincos(e21xCxCyx解为2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解，)(exPqyypymx，)(e*xQxymkx其中是一个与同次的多项式，而)(xQm)(xPm，，，210k若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．②设方程则方程有特解，]sin)(cos)([exxPxxPqyypymlx，]sin)(cos)([e21*xxRxxRxynnxk其中是次的多项式，，而)(),(21xRxRnnn},max{lmn按是否为特征方程的根而分别取1或0．ki二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．0d)4(d2yxxxy，24ddxxxyy，xxxxxxd411414d2两边积分，得即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln||(ln41||ln．xCxy)4(4解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．0tanyxyxyx32xy．xyxyytan作变换，则有xyu，uuxuxutandd移项，得两边积分，得，xxuuud1dsincos，Cxuln||ln|sin|ln将代入，有xyu，xCxysin即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为32xy1C，xxy1sin．xxy1arcsin解原方程变形为即例3求微分方程的通解．0dd)3(24xxyyxy，133ddxyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，)(2yfx由求解公式得．6436d12CyyCyyyCyyxyyyyde2ed63d62分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．32232yyxxyy解法1此方程为齐次方程，作代换，则有uxy，23dd2uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322故方程的通解为即由于，Cxuuuuln||ln3d)1(2322uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21||ln2Cuu，3221xCuu．Cyxy222解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得．422Cyyx，132ddyxxyyx此方程为贝努利方程，此时令，则有2xz，yzyyz64dd，42Cyyz例5求解下列方程即方程的解为，1lnlnlnCxp1.；2.．0yyxyyy3解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为yyp，0ppx，xxppd1d1即所以，方程的通解为，xCxy1dd．21lnCxCy方程变形为即有．0)1dd(2pypp2.此方程中不含变量，作变换，则xyp，yppxydddd22，＝ppypp3dd解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解．xCCye)sin(21由