微分流形与示性类

1微分流形与示性类§1、向量丛及基本概念…………………….2§2、Thom同构定理………………………8§3、Euler类和Gysin序列……………....19§4、流形中的相交理论………………..…25§5、Leray-Hirsch定理…………………..…35§6、示性类理论…………………………41§7、示性类的应用…..………………502§1、向量丛及基本概念向量丛是拓扑学中构造空间和流形的一类基本几何对象，也是各种示性类理论的几何载体。本节对于与之相关的概念，做一回顾和约定。1、向量丛的基本概念:以nF表n维F向量空间,其中F=R(实域),C(复域),H(四元数代数).给定一个拓扑空间B以及正整数0n，考虑乘积空间nFBE×=以及到第一因子投影BFBEpn→×=:.它称为以B为底空间的n维平凡F向量丛，记位nBε。一般说来，两个空间E,B之间的一个连续映射BEp→:决定E的一个分划CBbbEE∈=，其中)(1bpEb−=，Bb∈。定义1：映射BEp→:称为空间B上的一个n维F向量丛，如果（1）对于任一Bb∈，bE是一个n维F向量空间；（2）存在B的一个开复盖ααBBΛ∈∪=以及一簇同胚nRBBp×→−αααϕ)(:1，Λ∈α，使得nbbFbEE×→:αϕ，αBb∈∀，均为线性同构。3对于一个向量丛BEp⎯→⎯:ξ，有如下常用的附属概念：dimξ=dimFEb：称为ξ的维数；B：ξ的底空间；E：ξ的全空间；、p：ξ的丛投影；bE：点Bb∈上方的纤维。连续映射EB→:σ，bEb∈=0)(σ，称为丛BEp⎯→⎯:ξ的零截口。由此可规定E的一个子空间)0\(Im\0bBbEEEC∈==σ。习题1:证明映射对BEp⎯→⎯，EB⎯→⎯σ互为同伦逆（Bp1=σo，Ep1≈oσ）。定义2，拓扑空间B上的两个向量丛BEp⎯→⎯:ξ，BEp⎯→⎯11:η称为等价丛，记为ηξ≅，如果存在连续映射1:EEf→，使得（1）1EEf⎯→⎯p1pB（2）Bb∈∀，bbbEEEf1:→是线性同构。令)(BVectnF为B上全体n维F-向量丛等价类的集合.定义3.设一个向量丛BEp⎯→⎯:ξ是一个n维实向量丛.ξ上4的一个欧式度量是一个连续函数Q:E→R,满足αBb∈∀,Qb=Q︱Eb:Eb→R是一个正定二次形.既令Hb:Eb×Eb→R为Hb(u,v)=1/2(Qb(u+v)-Qb(u)-Qb(v))则Hb双线性;对称且非退化.命题:任一实向量丛BEp⎯→⎯:ξ上均有欧式度量.证明:令RRfn→:为2211),,(nnxxxxf++=LL.设ααBBΛ∈∪=是B的一个开复盖使得有平凡化:nRBBp×→−αααϕ)(:1，Λ∈α,并令RBpQ→−)(:1αα为复合:RRRBBpnn→→×→−αα)(1.取从属于开复盖ααBBΛ∈∪=的一个局部有限的单位分解:}]1,0[:{Λ∈→αλαB.昀后,令REQ→:为∑=)())(()(uQupuQααλ.2．向量丛的例子：[例1]设M是一个n维∞C流形.它的切丛TM→M是M上的一个n维实向量丛.它的一个欧式度量也称为M的一个黎曼度量.[例2]设mRM⊂是一个n维∞C子流形.对于Mx∈,令=xMM在点x处的切平面;=xEM在点x处的法平面;nmEx−=dim.则有51)M的切丛MMTMMxx→=∈C;2)M的法丛MEMMxx→=∈C)(γ以及的M第一基本型:RTMI→:,2)(vvI=.[例3]空间B上的1维实（复）向量丛，也称为B上的一个实（复）线丛。考虑=B园周1S上的两个实线丛：11),1(),0/(]1,0[:SvvRE→≈×=ξ111),1(),0/(]1,0[:SvvRE→−≈×=η.则E同胚于开圆柱面,而1E同胚于开Mobius带.习题2：证明ηξ≠。[例4]Hopf线丛:令nnFFP=−1中过原点的F-直线的集合.(n-1维F-射影空间).令}),{(1lvFFPvlEnn∈×∈=−,1:−→nFPEp,lvlp=),(.则p是1−nFP上的一个F-线丛,称为1−nRP上的Hopf线丛，记为Fγ.Rγ=1−nRP上的Hopf实线丛,1dim=RRγ;Cγ=1−nCP上的Hopf复线丛,2dim=CRγ;Hγ=1−nHP上的Hopf四元数线丛,4dim=HRγ;习题3:证明11RRPnR×≠−γ;11CCPnC×≠−γ.[例5]Grassmann流形上的典型丛:令nknFFG=)(,中过原点6的k维线性子空间的集合.Grassmann流形实Grassmann流形:)()()()(,knOkOnORGkn−×=+++复Grassmann流形:)()()()(,knUkUnUCGkn−×=;四元数Grassmann流形:)()()()(,knSpkSpnSpHGkn−×=令})(),{(,,LvFFGvLEnknkn∈×∈=,)(:,,FGEpknkn→,LvLp=),(.则p是)(,FGkn上的一个k维F-向量丛,记为)(,Fknγ,称为)(,FGkn上的典型丛.kFknF=)(dim,γ;kRknR=)(dim,γ;kCknR2)(dim,=γ;kHknR4)(dim,=γ.3．向量丛的构造：本段所指向量丛均为实丛。对于复向量丛亦有完全平行的构造。限制构造：已知向量丛BEp⎯→⎯:ξ以及子空间BX⊂，则p在X上的限制XXpXp→−)(:1亦为向量丛，记为Xξ，称为ξ在X上的限制丛。乘积构造：已知两个向量丛BEp⎯→⎯:ξ，111:BEp⎯→⎯η。则乘积映射111:BBEEpp×→××7是乘积空间1BB×上的一个向量丛，记为ηξ×，称为ξ与η的乘积丛。回植（pullback,induced）构造：已知向量丛BEp⎯→⎯:ξ以及连续映射BXf→:，令XEeEXexEfpxff⎯→⎯∈×∈=}),{()(,xexpf=),(;EEff→:ˆ,eexf=),(ˆ.则有映射的交换图表：BXppEEffff⎯→⎯↓↓⎯→⎯ˆ其中（1）XEfpf⎯→⎯是X上的一个向量丛，称为f的回植丛，记为ξ*f;（2）Xx∈∀,)()(:)(ˆxfxfxfEEEf→是线性同构。直和构造：已知同一空间B上的两个向量丛BEp⎯→⎯:ξ，BEp⎯→⎯11:η.令BBB×→Δ:为对角嵌入),()(bbb=Δ。则回植丛)(*ηξ×Δ称为ξ和η的直和丛，记为ηξ⊕。子丛与补丛:已知空间B上的向量丛BEp⎯→⎯:ξ.如果E有子空间EE⊂1,使得复合映射BEEp⎯→⎯⊂1也是上的向量丛,则称BEEp⎯→⎯⊂1:η是ξ的一个子丛,记为ξη⊂.命题:已知ξη⊂.则存在B上的向量丛μ,使得ξμη=⊕.8定义:μ称为子丛ξη⊂的补丛.§2.Thom同构定理Thom因建立流形的配边理论获1956年度的Fields奖。为了完成此项工作，他在流形的同调论，微分拓扑和示性类理论之间做了十分重要的沟通性的工作。其中昀为基本,实用且影响广泛的一个，是本节将介绍的Thom同构定理。设BEp⎯→⎯:ξ是一个n维实向量丛。它的零截口EB→:σ，bEb∈=0)(σ，定义了E的一个子空间)0\(Im\0bBbEEEC∈==σ。于是我们有一个空间偶),(0EE。另一方面，对于任一点Bb∈，纤维的含入映射EEibb→:决定空间偶间的映射),()0\,(:0EEEEibbb→。考察它诱导的上同调同态GGEEHGEEHibbnnb=→);0\,();,(:0*。其中系数群=G整数加群Z，或Mod2整数加群2Z。注意nrnrGGEEHbbr≠==若若0{);0\,(。1．模2Thom同构定理本段恒设同调系数群是2ZG=.定理1。设BEp⎯→⎯:ξ是一个n维实向量丛。则（1）存在唯一上同调类);,()(202ZEEHUn∈ξ使得9Bb∈∀，222*);0\,()(ZZEEHUibbnb=∈ξ为生成元；（2）对于所有Zr∈，同态);,();(:202ZEEHZBHTrnrr+→，)()(*)(2ξUxpxTr∪=是分次Abel群的同构。定义：在定理1中，)(2ξU称为ξ的模2Thom类。T称为ξ的模2Thom同构。证明将利用一些十分基本的同调论的事实，并遵循从局部到整体的原则。引理1。对于平凡丛BRBEpn→×=:，定理1成立。[证明]此时)0\,(),(0nnRRBEE×=，由Kunneth公式知)0\,()())0\,((),(00nnnnnnnRRHBHRRBHEEH⊗=×=,其中，若CmiiBB≤≤=1是的道路连通分支，则]1[)()(21010iBmiimiZBHBH≤≤≤≤⊕=⊕=，此处20)(1ZBHiBi=∈为唯一非零元。令)(1101BHiBmiB∈⊕=≤≤，2)0\,(ZRRHnnn=∈ω为唯一非零元。并置),(1)(02EEHUnB∈⊗=ωξ。则1）)(2ξU满足：Bb∈∀，22*)0\,()(ZEEHUibbnb=∈ξ为生成元；2）由Kunneth公式)0\,()())0\,((),(0nnnrnnrnrnRRHBHRRBHEEH⊗=×=++10任一),(0EEHyrn+∈可唯一表为)()()1()1(2*ξωωUxpxxyBRn∪=⊗∪⊗=⊗=.从而);,();(:202ZEEHZBHTrnrr+→是同构。引理2.设定理对于丛BEp⎯→⎯:ξ成立，且BAI→:是一个子空间，且nAAεξ=,则)()(*ˆ22AUUIξξ=。[证明]含入映射),())(,(:ˆ00EEAEAEI→1)满足交换图:)0\,(aaEE),())(,(:ˆ00EEAEAEI→2)诱导的同态))(,(),(:ˆ00*AEAEHEEHInn→。类∈)(*ˆ2ξUI))(,(0AEAEHn满足Aa∈∀，22*)0\,()](*ˆ[ZEEHUIiaana=∈ξ为生成元。故)(*ˆ2ξUI是Aξ的模2Thom类。[定理1的证明]设BEp⎯→⎯:ξ是一个n维实丛，则有B的开复盖ααBBΛ∈∪=使得ααξξB=平凡。对Λ做归纳法。若1=Λ，则ξ平凡。由引理1，定理成立。设定理对1−=Λk成立。考虑},,{1kααL=Λ。令111−∪∪=kBBBααL，kBBα=2，213BBB∩=。11则定理对iiiiBEB→=:ξξ，31≤≤i，成立。令),()(02iiniEEHU∈ξ为相应地Thom类，),()(:0iirniriEEHBHT+→，)()(*2iiUxpxξ∪→31≤≤i，为相应模2Thom同构。考虑空间的含入映射1E1I1J213EEE∩=21EEE∪=2I2J2E它诱导Mayer-Vietoris正合序列：→⊕→⎯→⎯→−),(),(),(),(02201100331EEHEEHEEHEEHnnnnδLL⎯→⎯δ),(033EEHn.由于0)()()()(32322212=−→⊕ξξξξUUUU(引理2)，存在),(0EEHUn∈使得i）→U)()(2212ξξUU⊕;进而ii)Bb∈∀，22*);0\,(ZZEEHUibbnb=∈是生成元。由于0),(0331=−EEHn，满足i)的类),(0EEHUn∈唯一，定理1中结论1）得证。由∪积的自然性，有Mayer-Vietoris序列的正合梯12↓M↓M)()(2111BHBHrr−−⊕⎯⎯→⎯≅⊕21TT),(),(02210111EEHEEHrnrn−+−+⊕↓↓)(31BHr−⎯→⎯≅3T),(0331EEHrn−+↓↓)(BHr⎯⎯→⎯=≅?T),(0EEHrn+↓↓)()(21BHBHrr⊕⎯⎯→⎯≅⊕21TT),(),(012011EEHEEHrnrn++⊕↓↓)(3BHr⎯→⎯≅3T),(033EEHrn+M↓M↓根据5-引理，),()(:0EEHBHTrnrr+→为同构。定理1中关于Mod2Thom类唯一性断言有如下推论。推论1、已知向量丛BEp⎯→⎯:ξ以及连续映射BXf→:,则)(*ˆ)(2*2ξξUffU=其中EEff→:ˆ是BXf→:上的保纤映射。[证明]根据EEff→:ˆ的定义，Xx∈∀，有映射交换图表),(),()0\,()0\)(,)((0ˆ0)()()(ˆEEEEiiEEEEfffxfxxfx