微积分历史

积分的起源很早，古希腊时期就有用穷尽的方法来求特殊图形面积的研究。阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。17世纪的前半是微积分学的酝酿时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。而后戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。学术界曾对于谁发明微积分有极大的争论，两人亦曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁。在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科，之后才确实划分出微积分学这门学科。而微积分之名与其使用之运算符号则是莱布尼茨所创。在牛顿、莱布尼茨以前，对微分、积分最有贡献的大概要算皮埃尔·德·费马，可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师伊萨克·巴罗虽然知道两者之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功给予西方数学非常深远的影响：一般认为唯有几何的论证方法才是严谨、真正的数学，代数不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题，这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的计算方法，巴罗便是其中之一。牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点而发展出了有效的微分方法，可是他迟迟未敢发表。虽然他利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人的批评，所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微积分的痕迹抹去，而以古典的几何论证方式论述。微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡儿、费马、惠更斯和沃利斯的贡献。牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化，但是它还是不够严谨。可是当微积分被成功地用来解决许多问题，却使得十八世纪的数学家偏向其应用，而少致力于其严谨。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉（L.Euler）、拉格朗日（J.U.Lagrange）、拉普拉斯（P.S.deLaplace）、达朗贝尔（J.deR.d'Alembert）及伯努利（Bernoulli）世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论，使微积分学不因基础不稳而隐含错误。在这些众数学家的手中，微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的解析学。发展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题”，另一个是“面积问题”。