2017届高三物理一轮总复习 第1章《运动的描述 匀变速直线运动的研究》3 运动的图象追及和相遇问题

知识梳理[要点回顾]知识点一运动的图象1．匀速直线运动的x－t图象．x－t图象表示运动的位移随时间的变化规律．匀速直线运动的x－t图象，是一条倾斜直线．速度的大小在数值上等于图象的斜率，如图所示．2．匀变速直线运动的v－t图象．v－t图象表示速度随时间的变化规律．(1)给出了v与t的对应关系，即若给定时间t，则可从图上找出该时刻的速度，反之亦然，如图所示．(2)直线的斜率表示加速度，即斜率越大，加速度也越大；反之则越小．(3)图象与时间轴围成的面积表示0～t1时间内的位移．若围成的面积在时间轴上方，取正值，说明位移方向与规定正方向相同；若围成的面积在时间轴下方则取负值，说明位移方向与规定正方向相反．总之，要理解图象中两个坐标轴、斜率、截距、交点、线型、面积等几个方面的意义．知识点二追及、相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于相同位置，且后者速度一定不小于前者速度．(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．2．相遇问题相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．[思维诊断](1)x－t图线是物体的运动轨迹．()(2)x－t图线是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动．()(3)v－t图线是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运动．()(4)x－t图线与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．()(5)两条v－t图线的交点表示两个物体相遇．()(6)两条x－t图线的交点表示两个物体相遇．()(7)相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相遇．()××√×××√考点突破考点一运动图象的理解和应用x－t图象v－t图象轴纵轴为位移x纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度面积无实际意义图线与时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等[例1]如图是物体做直线运动的v－t图象．由图可知，该物体()A．第1s内和第3s内的运动方向相反B．第3s内和第4s内的加速度相同C．第1s内和第4s内的位移大小不相等D．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等[解析]由题图可知，物体在第1s内和第3s内的运动方向相同，A项错误；由图线的斜率表示加速度可知，物体在第3s内和第4s内加速度相同，B项正确；第1s内和第4s内图线与坐标轴所包围的“面积”大小相等，即物体的位移大小相等，C项错误；0～2s和0～4s内物体的位移相等，但时间不同，平均速度大小不相等，D项错误．[答案]B变式训练1国产歼15舰载战斗机在航母甲板上加速起飞过程可看做匀变速直线运动，在某段时间内的x－t图象如图所示，视歼15舰载战斗机为质点，根据图中所给数据判断该机加速起飞过程中，下列选项正确的是()A．经过图线上M点所对应位置时的速度小于20m/sB．在t＝2.5s时的速率等于20m/sC．在2s～2.5s这段时间内位移等于10mD．在2.5s～3s这段时间内位移等于10m【解析】由题图可知，在2s～3s这段时间内该机的平均速度v－＝xt＝20m/s，又匀变速直线运动的中间时刻速度等于这段时间内的平均速度，故在t＝2.5s时的速度等于20m/s，选项B正确；结合图象可知M点位于t＝2.5s时刻之后，其速度大于20m/s，选项A错误；该机在2s～2.5s这段时间内的平均速度小于20m/s，所以位移小于10m，选项C错误；而在2.5s～3s这段时间内，平均速度大于20m/s所以位移大于10m，选项D错误．【答案】B考点二追及和相遇问题讨论追及、相遇的问题，其实质就是讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题．1．追及相遇问题中的两个关系和一个条件(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．2．追及相遇问题常见的情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种常见情况：(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.若使两物体保证不相撞，此时应有vAvB.[例2](2016·河南信阳模拟)如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2，甲车运动6.0s时乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．[解析]甲车运动6s的位移x0＝12a1t20＝45m，尚未追上乙车，设此后用时间t与乙车相遇，则有12a1(t＋t0)2＝12a2t2＋85m，将上式代入数据并展开整理得t2－12t＋32＝0，解得t1＝4s，t2＝8s，t1、t2都有意义，t1＝4s时，甲车追上乙车；t2＝8s时，乙车追上甲车再次相遇．第一次相遇地点到A的距离x1＝12a1(t1＋t0)2＝125m.第二次相遇地点到A的距离x2＝12a1(t2＋t0)2＝245m.[答案]125m或245m[规律总结]追及问题的分析思路：(1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．(2)通过对运动过程的分析，画出简单的运动示意图，找出两物体的运动位移间的关系式，追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．(3)寻找问题中隐含的临界条件，例如速度相等是追上、追不上以及两者有最大或最小距离的临界条件．追及问题常用基本解题方法：画两图：画物体运动过程图和v－t图．找关系：①各阶段物理关系式；②时间关系；③位移关系；④临界速度相等的条件．追及问题简记：追及画图找关系物时位速要牢记变式训练2一摩托车先由静止开始以2516m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25m/s做匀速运动，追赶前方以15m/s的速度同向匀速行驶的卡车．已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000m，则：(1)追上卡车前二者的最大间距是多少？(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车？【解析】(1)由题意得，摩托车匀加速运动的最长时间为t1＝vma＝16s，位移为x1＝v2m2a＝200mx0＝1000m，所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车，则追上卡车前两者速度相等时间距最大．设从开始经过t2时间二者速度相等，最大间距为xm，则有at2＝v摩托，即t2＝v摩托a＝9.6s，故xm＝x0＋v摩托t2－12at22＝1072m.(2)设摩托车经过t时间追上卡车，则有v2m2a＋vm(t－t1)＝x0＋v摩托t，解得t＝120s.【答案】(1)1072m(2)120s提能微课3用图象法求解追及相遇问题利用图象法求解追及相遇问题的思路[典例](多选)甲、乙两质点从同一位置出发，沿同一直线路面运动，它们的v－t图象如图所示．对这两质点在0～3s内运动的描述，下列说法正确的是()A．t＝2s时，甲、乙两质点相遇B．在甲、乙两质点相遇前，t＝1s时，甲、乙两质点相距最远C．甲质点的加速度比乙质点的加速度小D．t＝3s时，乙质点在甲质点的前面[解析]由图可知，甲的加速度a甲＝－23m/s2，做匀减速直线运动，乙的加速度a乙＝0.5m/s2，做匀加速直线运动，C错误；开始时甲速度大，甲在前，乙追甲的过程中，t＝1s前两者距离在增大，t＝1s时，两者速度相等，甲、乙两质点距离最大，故B正确；t＝2s时，分别求出它们的位移x甲＝2×2m－12×23×22m＝83m，x乙＝1×2m＋12×0.5×22m＝3m，这时乙已在甲前，A错误，D正确．[答案]BD类题拓展随着空气质量的恶化，雾霾现象增多，危害加重．雾和霾都是视程障碍物，会使有效水平能见度降低，从而带来行车安全隐患．在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图中a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是()A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B．在t＝5s时追尾C．在t＝3s时追尾D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾【解析】由图象可知，在t＝5s时，两车的速度相等，若此时小汽车与大卡车没有追尾，则以后再不会发生追尾．由v－t图象与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小可得：t＝5s时，xa－xb＝35m＞30m，已经发生了追尾，t＝3s时，xa－xb＝30m，所以在t＝3s时，小汽车与大卡车出现了追尾，C正确．如果刹车不失灵，则两车在t＝2s时共速，此时xa－xb＝20m30m，故不会追尾，D错误．【答案】C真题检测1．(2015·广东卷)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图所示．下列表述正确的是()A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的大D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等【解析】在位移—时间图象中，图线的斜率为速度，在0.2～0.5小时内甲图线斜率大于乙图线斜率，且斜率都不变，故v甲v乙，a甲＝a乙＝0，A错误，B正确.0.6～0.8小时内，x甲x乙，C错误．t＝0.8h时甲、乙出现在同一位置，甲、乙位置相同，但在整个过程中甲曾经到达s＝10m处而乙只到达s＝8m处，故s甲s乙，路程不同，D错误．【答案】B2.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内()A．汽车甲的平均速度比乙的大B．汽车乙的平均速度等于v1＋v22C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大【解析】根据匀变速直线运动的规律，v－＝v1＋v22，由所给v－t图象可知，v－甲v1＋v22，v－乙v1＋v22，所以汽车甲的平均速度比乙的大，A正确，B错误；v－t图线与时间轴所围的面积表示位移，故甲的位移大于乙的位移，C错误．v－t图线切线的斜率的大小表示加速度大小，由图象知，甲、乙的加速度均逐渐减小，D错误．【答案】A3.以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比．下列用虚线和实线描述两物体运动的v－t图象可能正确的是()【解析】空气阻力可忽略的物体，在空中运动时只受重力作用，做匀变速直线运动，速度图线应为倾斜的直线，且图线斜率等于加速度大小g.另一物体所受空气阻力与速率成正比，设比例系数为k，则f阻＝kv.物体在上升过程中受向下的重力和阻力，根据牛顿第二定律：mg＋f阻＝mg＋kv＝ma，由于速度不断减小，加速度不断减小，v－t图线的切线斜率应该越来越小，A错误．物体运动到最高点的一瞬间，速度大小为0，阻力为零，只要受重力作用，这一瞬间的加速度大小应等于重力加速度的大小，即v－t图线与时间轴交点处的切线斜率等于不受空气阻力的运动物体的v－t图线斜率，B、C错误，D正确．【答案】D4.甲、乙两辆汽车在平直公路上的同一地点，同时出发，分别向相反方向做如图所示的运动，则下列关于汽车运动的描述正确的是()A．前80s，乙车平均速度是甲车平均速度的四倍B．70s末，甲乙两车的加速度大小相等、方向相同C．60s末，两车相距最远D．80s末，两车相距最远【解析】前80s内，乙车的位移大小是甲车位移大小的两倍，故乙车平均速度是甲车平均速度的两倍，A项错；由图象知，70s末甲、乙两车的加速度大小相等、方向相反，B项错；80s末两车相距最远，C项错、D项正确．【答案】D