解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的

1一、知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况:如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinAsinB1，则B有两解；如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB1，则B无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。22sin2cos,2cos2sinCBACBA二、典型例题题型1边角互化[例1]在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7，则cosC=2222abcab=222357235=12因为0C，所以C=23[例2]若a、b、c是ABC的三边，222222)()(cxacbxbxf，则函数)(xf的图象与x轴【】A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA，所以222()2cosfxbxbcAxc=2222(cos)cosbxcAccA，因为2cosA1,所以222cosccA0，因此()fx0恒成立，所以其图像与X轴没有交点。题型2三角形解的个数[例3]在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。题型3面积问题[例4]ABC的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为【解析】设△ABC的三边分别：x－4、x、x＋4，∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x＋4﹚²=﹙x－4﹚²＋x²－2×﹙x－4﹚×x×cos120°，解得：x=10∴△ABC三边分别为6、10、14。113sin610153222ABCSabC题型4判断三角形形状[例5]在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB3由02,22AB，得22AB或22AB即ABC为等腰三角形或直角三角形方法二：同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理，即得：2222222222bcaacbabbabcac22222222()()abcabacb即22222()()0abcabab或222cab即ABC为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型5正弦定理、余弦定理的综合运用[例6]在ABC中，,,abc分别为角A，B，C的对边，且sinsinsin()ACpBpR且214acb（1）当5,14pb时，求,ac的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围。【解析】（1）由题设并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBpbbbB即231cos22pB，因为0cos1B，所以23(,2)2p，由题设知0p，所以622p题型6、解三角形的实际应用如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用Svt求出边长,再进行进一步分析.[解析]如图，连结11AB，由已知22102AB，122030210260AA，北1B2B1A2A120105甲乙41221AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知，1120AB，1121056045BAB∠，在121ABB△中，由余弦定理，22212111212122cos45BBABABABAB22220(102)2201022200．12102BB．因此，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）．答：乙船每小时航行302海里．【点拨】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、课堂练习：1、满足45A，c=6，a=2的ABC的个数为m，则ma为2、已知a=5，b=35，30A，解三角形。53、在ABC中，已知4acm，xbcm，60A，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是【】A、4xB、x0≤4C、4≤x≤338D、3384x4、在ABC中，若),(41222cbaS则角C=5、设R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。6、在ABC中，D为边BC上一点，BD=33，135sinB，53cosADC，求AD。7、在ABC中，已知,,abc分别为角A，B，C的对边，若coscosaBbA，试确定ABC形状。68、在ABC中，,,abc分别为角A，B，C的对边，已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA；（2）若1cos,2,4Bb求ABC的面积。四、课后作业1、在ABC中，若bcacbcba3))((，且CBAcossin2sin，则ABC是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、△ABC中若面积S=)(41222cba则角C=3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为hm，则清源山的高度为m。A、)sin(cossinhB、)sin(sincoshC、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大7值。5、在ABC中，,,abc分别为角A，B，C的对边，且满足sincoscAaC（1）求角C的大小（2）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。