1.6-矢量场散度的定义与计算

1.6矢量场的散度1.矢量场的矢线（场线）2.矢量场的通量3.散度的定义4.散度的计算5.散度定理1.矢量场的矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。+-表达式：SvdS若曲面为闭合曲面：SvdS2.通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。讨论：a.如果闭合曲面上的总通量0说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量0说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。表达式：SFdSdivFlimV0V3.散度的定义：定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。123456SS1S2S3S4S5S6FdSFdSFdSFdSFdSFdSFdS4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：FFxaˆxFyaˆyFzaˆzzyxS65SS1S4S3S2123456SS1S2S3S4S5S6FdSFdSFdSFdSFdSFdSFdSdS1dydz(aˆx)在x方向上：计算穿过和面的通量2S1SzyxS6S5S1S4S3S2ˆ1x1xxS1FdSF(x)ayz(aˆ)Fx(x1)yzdS2dydzaˆxF(xx)yzx1S2FdS2Fx(x2)aˆxyzaˆxx2x1x其中：FFxaˆxFyaˆyFzaˆzFxFx(x1x)Fx(x1)x因为：xFxFdS2Fx(x1)yzxyzxS2则：在x方向上的总通量：1S1S2FxFdSFdS2xxyzzyxS65SS1S4S32SS1FdS1Fx(x1)yz已知：在z方向上,穿过S5和S6面的总通量：S5S6FZFdS5FdS6zxyz整个封闭曲面的总通量：FFdSxFyFzxyzxyzS3S3S4FyFdSFdS4yxyz同理：在y方向上,穿过S3和S4面的总通量zyxS6S5S1S43SS2该闭合曲面所包围的体积：VxyzSV0divFlimVFdSFzFyxyzFx通常散度表示为：divFF散度：5.散度定理：SVFdSFdV物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。圆柱坐标系中：1F1(Frr)FzFrz球坐标系中：21F(Fsin)rr1(R2F)1FRRRRsinRsin11u23u312u213hhF(Fhh)(Fhh)u2u3h1h2h3u1正交曲线坐标系中：F直角坐标系中：FFxFyFzxyz常用坐标系中，散度的计算公式拉梅系数（1,1,1）直角坐标系中：坐标变量(x,y,z)常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数圆柱坐标系中：坐标变量(r,,z)拉梅系数(1,r,1)球坐标系中：坐标变量(R,,)拉梅系数(1,R,Rsin)正交曲线坐标系中：坐标变量(u1,u2,u3)拉梅系数(h1,h2,h3)小结：1.矢量场的矢线（场线）2.矢量场的通量SvdS3.散度的定义SFdSdivFlimV0V5.散度定理SVFdSFdV4.散度的计算1Fuh2h31(Fuh1h3)(Fuh1h2)23Fu2u3h1h2h3u1