量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答2目录第一章量子理论基础··················································1第二章波函数和薛定谔方程·········································5第三章力学量的算符表示··········································28第四章表象理论······················································48第五章近似方法······················································60第六章碰撞理论······················································94第七章自旋和角动量···············································102第八章多体问题·····················································116第九章相对论波动方程············································1283第一章量子理论基础1．设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A（可见光），1A（x射线）以及0.001A（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解]电子在电势差V加速下，得到的能量是eVm221这个能量全部转化为一个光子的能量，即hcheVm221)(1024.1106.11031063.6419834AehcV（伏）当A50001时，48.21V（伏）A12时421024.1V（伏）A001.03时731024.1V（伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。[解]普朗克公式为18/33kThvvedvchvd单位体积辐射的总能量为00/3313ThvvedvvchdvU令kThvy，则440333418TTedyychkUy（★）其中0333418yedyychk（★★）（★）式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121yyyyyyeeeeee41nnyedyeyedyynnyy013031令nyx，上式成为dxexnedyyxny03140311用分部积分法求后一积分，有0002200332333dxxeexdxexexdxexxxxxx6666000xxxedxexe又因无穷级数144901nn故0443159061yedyy因此，比例常数015334533341056.715818chkedyychky尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T=1k时，具有动能kTE23（k为玻耳兹曼常数）的氦原子。[解]德布罗意公式为ph因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式22pE代入德布罗意公式得Eh2（1）101106.1100eVE尔格，281109克81028271111023.1106.110921063.62Eh厘米=1.23A5（2）132106.11.0eVE尔格，281210918401840克A92.02（3）133106.11.0eVE尔格，13克A1231017.1（4）161641004.211038.12323kTE尔格，2441066.14克A6.1244．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。[解]（1）方法一：量子化条件nhpdq，一维谐振子的能量为222212qpE可化为12222222EqEp上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为Ea2，22Eb这个椭圆的面积为nhvEEEEabpdq2222故nhvE上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为02qq其解为)sin(tAqdttAdq)cos(而)cos(tAqpnhvATAdttApdqT22)(cos222202226而)(sin212)(cos2122222222222tAtAqpEnhvA2221（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有RHce2故eHcR这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。应用玻耳—索末菲量子化条件nhpdq这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量RRRHP2222120222nhRceHRdRdPeHcneHnhcR2其中2h可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量hvnEn21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能hvE210。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。7第二章波函数和薛定谔议程1．一维运动的粒子处在0,00,)(xxAxexx当当的状态，其中0，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。[解]首先将归一化，求归一化系数A。02220*1dxexAdxx02202022222121dxxeAdxxeexAxxx32022242AxeAx2/32A0,00,2)(2/3xxxexx当当（1）动量的几率分布函数是dxextpcpxEti)(2/1)()2(),(注意到Etie中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有dxextpcpxi)()2(),(210)(21)2(dxxeAxpi令dxpidyxpiy,代入上式得0221)()2(),(dyyepiAtpcy2222322)(2ppipiA8（2）pdpppipipcdpcp4222223*/2222223322223/2pdpppdp0122233p动量p的平均值0p的结果从物理上看是显然的，因为对本题),(tpc说来，粒子动量是p和是p的几率是相同的。讨论：①一维的傅里叶变换的系数是21而不是2/321。②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于0t的情况，变换式的形式保持不变。③不难证明，若)(x是归一化的，则经傅里叶变换得到)(pc也是归一化的。2．设在0t时，粒子的状态为kxkxAxcos21sin)(2求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态)(x总可以分解为单色平面波的线性和，即pxiePcx21)()(，展开式的系数2)(Pc表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照22)()(PcpPcP求平均值。kxkxAxcos21sin)(222122ikxikxikxikxeeieeAikxikxikxikxeeeeA24222222222402ikxikxpikxikxikxeeeeeA9在0t时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为xpie21，与)(x的展开式比较可知，处在)(x状态的粒子动量可以取kpkppkpkp54321,,0,2,2，而2421Acc，24,22543AccAc粒子动量的平均值为0)11211(162)0422(162222222222AkkkkAcpcpnnnA可由归一化条件确定2221)11411(1621AAcn故1A粒子动能的平均值为)044(2116222222222222kkkkAcTcTnnn2285k。方法二：直接积分法dxexpcpxi)(21)(xdexdeAxpkixpki)2()2(212124xdexdexpkixip)(2122xdexpki)(21)(2)2()2(24pkpkpA)()(kpkp根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故p的可能值有kpkppkpkp54321,,0,2,210而24,22,2454321AccAcAcc则有1,0Ap及2285kT。讨论：①由于单色德布罗意平面波当r时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。②本题的)(x不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数)(x的p是分立谱而不是连续谱，因此计算)(pc积分，得到函数。③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。3．一维谐振子处在tixex222122)(的状态，求：（1）势能的平均值2221xU；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值22pT[解]先检验)(x是否归一化。1221*22