第8讲事件的独立性

显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.两事件独立的定义例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.则由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立.在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？AB即:若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即S问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是S和P(S)=P()P(S)=0与S独立且互斥s不难发现，与任何事件都独立.设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.B=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)BP(A)=P(A-AB)A、B独立故A与独立.B概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明:仅证A与独立B容易证明,若两事件A、B独立，则BABABA与与与,,也相互独立.二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时P(AC)=P(A)P(C)成立,则称事件P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立.推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：1201)11(32nnnnnnnnn设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意1i1i2…ikn,具有等式则称A1,A2,…,An为相互独立的事件.1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：例2三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为1，2，3，三、独立性的概念在计算概率中的应用所求为P(A1+A2+A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,312所求为P(A1+A2+A3)已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4P(A1+A2+A3))(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]6.05343325413n个独立事件和的概率公式:nAAA,,,21…设事件相互独立,则）…nAAAP21(1)(121nAAAP…P(A1+…+An))()()(nAPAPAP…211也相互独立nAAA,,,21…也就是说，n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.nAAA,,,21…则“至少有一个发生”的概率为P(A1+…+An)=1-(1-p1)…(1-pn))()()(121nAPAPAP…,,,1nppnAAA,,,21…若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：nAAA,,,21…至少有一个不发生”的概率为“)(21nAAAP…=1-p1…pn下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有其中973.0)()()(EPDPCPP(C+D+E)=1-9375.0)()(GPFPP(F+G)=1-P(W)0.782代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0独立试验概型1.重复独立试验在相同条件下把试验E重复进行，且各次试验是独立进行的，即每次试验各结果出现的概率不受其他各次结果的影响，则称这一系列试验所组成的试验为重复独立试验。2.n重伯努利（Bernoulli）试验若一实验的结果只有两个结果A和，将此试验重复独立地进行n次，则称此n次试验所组成的试验为n重伯努利试验或伯努利概型。A定理4.1设在一次试验中事件A发生的概率为p（0p1)，则A在n次伯努利试验中恰好发生k次的概率为(),0,1,2,,.(4.1)kknknnPkCpqkn其中q=1-p.kknknCpq()npq因为恰好是的二项公式的一般项，故又称（4.1）式为二项概率公式。例4.1某人独立射击10次，每次命中率为0.2，求：（1）击中两次的概率；（2）至少击中一次的概率。解：这是伯努利概型，设A={击中两次}，B={至少击中一次}22810(1)()(0.2)(0.8)0.3;PAC001010(2)()1()1(0.2)(0.8)0.893.PBPBC例5.对某厂产品进行质量检查，据该厂厂长说，他们厂的产品次品率是0.005.现在随机抽取200件产品进行检查，发现有4个次品，试问该厂厂长的话是否可信。解：假设厂长的话可信，产品次品率为0.005，则200件产品中恰好出现4个次品的概率为44196200200(4)(0.005)(0.995)0.015.PC这说明200件产品中出现4个次品的概率为0.015，是一个小概率事件，小概率事件在一次试验中被认为几乎不可能发生，但现在竟在一次试验中发生了，故认为该厂厂长的话不可信。这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.需要指出的是，不少复杂事件概率的计算是上面两讲的加法公式和乘法公式的综合运用和推广.下一讲将给大家介绍的就是这样的公式.全概率公式和贝叶斯公式