备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题39 球的“内切”、“外切”的解题技巧 Wor

-1-【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．【方法点评】类型一球的内切问题使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．【答案】（1）332R；（2）当433rR时，体积之和有最小值．图1-2-【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R与和棱长间的关系即可．【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【答案】球取出后，圆锥内水平面高为r315．【解析】-3-又球圆锥水VVV，则33334391rrx，解得rx315．答：球取出后，圆锥内水平面高为r315．【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．考点：空间几何体的体积；【变式演练2】在四面体SABC中，,2,2ABBCABBCSASC，二面角SACB的余弦值是33，则该四面体外接球的表面积是（）A．86B．6C．24D．6【答案】B【解析】-4-考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【变式演练3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【答案】3622．【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222h．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622．【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．考点：空间几何体的球体积和表面积.【变式演练4】已知三棱锥SABC，满足,,SASBSC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.【答案】433【解析】-5-考点：三棱锥的外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．类型二球的外切问题使用情景：有关球的外切问题解题模板：第一步首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例2.正三棱锥ABCP的侧棱长为，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积．【答案】322334sin2(34sin)l．-6-∴)sin43(2sin433sin34123422332llV球．【点评】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．求球半径，是解本题的关键．例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（）A．24316B．8116C．814D．274【答案】A【解析】-7-考点：球的表面积和体积.【变式演练5】已知CBA、、是球O的球面上三点，2AB，32AC，60ABC，且棱锥ABCO的体积为364，则球O的表面积为（）A．10B．24C．36D．48【答案】D【解析】试题分析：在ABC中，由正弦定理sinsinACABABCACB,即0232sin60sinACB,所以1sin2ACB,ABAC,所以0030,90ACBCAB,1223232ABCS，由463OABCV得球心O到平面ABC的距离为22,由于ABC为直角三角形,设斜边BC中点为M,则OM面ABC,在RtOMB中,球的半径2223ROBOMMB,所以球O的表面积2448SR,选D.考点：1.正弦定理；2.三棱锥体积公式；3.球表面积公式.【思路点晴】本题主要考查了空间思维能力，空间几何体性质等，属于中档题.本题先利用-8-解三角形判断三角形ABC的形状,求出090CAB,算出三角形ABC的面积,由棱锥ABCO的体积，求出球心到平面ABC的距离.斜边BC中点M也是三角形ABC的外接圆圆心,所以OM面ABC,再在RtOMB中,求出球的半径,再算出表面积.【变式演练6】已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，其中ABCD为正方形，PAD为等腰直角三角形，2PAPD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为（）A．10B．4C.16D．8【答案】D【解析】试题分析：因为PAD为等腰直角三角形，2PAPD,故2ABAD,则点P到平面ABCD的距离为,而底面正方形的中心O到边AD的距离也为,则顶点P正方形中心O的距离2PO,正方形的外接圆的半径为2,故正方形ABCD的中心是球心,则球的半径为2,所以该几何体外接球的表面积8242S,应选D.考点：几何体的外接球的面积与计算.【变式演练6】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB，24BC、30AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．【答案】127．【点评】涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22dRr解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，求弦AB的长度．由条件可抓住BCDA是正四面体，A、B、C、D为球上四点，则球心在正四面体中心，设aAB，则截面BCD与球心的距离Rad36，过点B、C、D的截面圆半径-9-ar33，所以222)36()33(RaRa得Ra362．考点：空间几何体的球体积和表面积.【高考再现】1.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）323【答案】B【解析】【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．2.【2016高考新课标Ⅲ文数】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）323【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．3.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()-10-A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．BOAC【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．【反馈练习】１．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．【答案】1283【解析】试题分析：设圆锥底面半径为，高为2r.依题意有222RrRr，解得4r，所以圆锥的体积为211284833.考点：圆锥与球．２．【湖南永州市2017届高三第一次模拟，10】设三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，90BCA，2BCCA，若该棱柱的所有顶点都在体积为323的球面上，则直线1BC与直线1AC所成角的余弦值为（）-11-A．23B．23C．53D．53【答案】B【解析】考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.３．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，则下列命题中的假命题是A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；B.四边形AECF是正方形；C.点A到平面BCE的距离为64;D.该八面体的顶点在同一个球面上.【答案】C【解析】试题解析：因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是060,而象AE与CE所成的角为090,A正确；四边形AECF各边长均为1，-12-2EFAC，所以四边形AECF是正方形；2DB，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h,由BCEAABCDEVV2，所以h43312221131，解得36h，C错误；考点：空间几何体中点、线、面的位置关系.4.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】)625(8)26(4422RS球，33)26(3434RV球．∴RR36313233113631得：2633232R，∴)625(8)26(4422RS球．∴33)26(3434RV球．【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R2，四个球心构成一个棱长-1