椭圆的几何性质(第一节课用)

课本P41例3P42练习4一.求点的轨迹方程复习练习如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’中点M的轨迹。解：设M(x,y),P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（,)Pxy22由于在x+y=4上,2200所以x+y=4.00?2xxyy2200把代入x+y=4中,得x22+4y=4,4x22即:+y=1,所以M点的轨迹是一个椭圆。复习练习P为椭圆+=1上一点,F1、F2是其左、右焦点（1）若|PF1|=3,则|PF2|=_________________252x162y（2）过左焦点F1任作一条弦AB，则⊿ABF2的周长为___（3）若点P在椭圆上运动,则|PF1|·|PF2|的最大值为___yx0F2F1PBAP72025二、椭圆简单的几何性质1、范围：,122ax得：122by-a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab2、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!3.椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）3、椭圆的对称性22221(0)，xyabab在之中把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于()对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。oxy所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。YX原点123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A14、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前内容升华4一个范围，三对称四个顶点，离心率例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则它的长轴长是：；短轴长是：；焦距是：；离心率等于：；焦点坐标是：；顶点坐标是：；外切矩形的面积等于：；108635(3,0)(5,0)(0,4)80解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：1162522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置.例题2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=6,e=,焦点在x轴上(2)离心率e=0.8,焦距为8(3)长轴是短轴的2倍,且过点P(2,-6)求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！31(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为61323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222xx或191822yx练习2：过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于,离心率等于．(3,0)P(0,2)Q2035解:（1）由题意，,又∵长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为．3a2bx22194xy（2）由已知，，∴，，∴，所以椭圆的标准方程为或．220a35cea10a6c22210664b22110064xy22110064yx例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。1981192222xyyx或例4如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知求截口BAC所在椭圆的方程.121122.8,4.5,BCFFFBCMFFCM，xyoF1F2ABC〈例题3〉离心率e(1).若椭圆+=1的离心率为0.5，则：k=_____82kx92y(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________445或53例5点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线l:的距离的比为，求点M的轨迹.254x45例5、解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：由此得：222,xcycaaxc22222222()().acxayaac22221(0).xyabab这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线的距离比是常数2:alxc(0).caca求M点的轨迹。{|MFcPMda平方，化简得：222,:acb令可化得椭圆的准线与离心率离心率：椭圆的准线：2axc2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLL’FF’离心率的范围：01e相对应焦点F（c,0），准线是：相对应焦点F（-c,0），准线是：2axc2axc例题6F为椭圆的右焦点,P为椭圆上一动点,求|PF|的最大值和最小值12222byax1.基本量:a、b、c、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线）222bacace焦点总在长轴上!