椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题1A组基础过关一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()．A.12B.22C.2D.32解析由题意得2a＝22b⇒a＝2b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝2c⇒e＝22.答案B2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()．A.x281＋y272＝1B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1D.x281＋y236＝1解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝13×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x281＋y272＝1.答案A3．(2012·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()．A.32B.34C.22D.23解析先将x2＋4y2＝1化为标准方程x21＋y214＝1，则a＝1，b＝12，c＝a2－b2＝32.离心率e＝ca＝32.答案A4．(2012·佛山月考)设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为()．A．1B.83C．22D.263解析由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆x24＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组x2＋y2＝3，x24＋y2＝1，得点P的横坐标为263.答案D5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()．A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x236＋y29＝1D.x29＋y236＝1解析依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为32.∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32.解得b2＝9，∴椭圆G的方程为：x236＋y29＝1.答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若椭圆x225＋y216＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________．解析由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以点P到其另一个焦点F2的距离为|PF2|＝2a－|PF1|＝10－6＝4.答案47．(2011·皖南八校联考)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，∴离心率e＝2c2a＝33.答案338．(2011·江西)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析由题可设斜率存在的切线的方程为y－12＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由|－2k＋1|4k2＋4＝1，解得k＝－34，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A35，45，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.答案x25＋y24＝1三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2.试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解(1)∵P点在椭圆上，∴9a2＋16b2＝1.①又PF1⊥PF2，∴43＋c·43－c＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20.椭圆方程为x245＋y220＝1.(2)S△PF1F2＝12|F1F2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋54y2＝25，即C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.B级提高题一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·丽水模拟)若P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()．A.53B.23C.13D.12解析在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝5，∴e＝2c2a＝53.答案A2．(2011·汕头一模)已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()．A．3个B．4个C．6个D．8个解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·镇江调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝3c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝ca∈33，22.答案33，224．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是________．解析根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F1A→＝(m＋2，n)，F2B→＝(c－2，d)，∵F1A→＝5F2B→，∴c＝m＋625，d＝n5.∵点A、B都在椭圆上，∴m23＋n2＝1，m＋62523＋n52＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案(0，±1)三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·大连模拟)设A，B分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．(1)解(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为x24c2＋y23c2＝1，将1，32代入，得c2＝1，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)证明由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则－2＜x0＜2，y20＝34(4－x20)，由P，A，M三点共线，得x＝6y0x0＋2，BM→＝(x0－2，y0)，BP→＝2，6y0x0＋2，BM→·BP→＝2x0－4＋6y20x0＋2＝52(2－x0)＞0，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M1，32.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA→·PB→＝PM→2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k21)x2－8k1(2k1－1)x＋16k21－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k21)(16k21－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，所以k1＞－12.又x1＋x2＝8k12k1－13＋4k21，x1x2＝16k21－16k1－83＋4k21，因为PA→·PB→＝PM→2，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k21)＝|PM|2＝54.即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k21)＝54.所以16k21－16k1－83＋4k21－2·8k12k1－13＋4k21＋4(1＋k21)＝4＋4k213＋4k21＝54，解得k1＝±12.因为k1＞－12，所以k1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.【点评】解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.椭圆练习题2一、填空题1．椭圆63222yx的焦距为______________。2．如果方程222myx表示焦点在y轴的椭圆，则m的取值范围是_____________。3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(，则椭圆方程是_______。4．椭圆1422ymx的焦距是2，则m的值是______________。5．若椭圆长轴的长等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为______________。6．P是椭圆14522yx上的一点，1F和2F是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于______________。7．已知P是椭圆13610022yx上的一点，若P到椭圆右准线的距离是217，则点P到左焦点的距离是______________。8．椭圆192522yx的点到左准线的距离为5，则它到右焦点的距离为______________。9．椭圆13222yx的中心到准线的距离是______________。10．中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为21的椭圆方程是______________。11．点P在椭圆284722yx上，则点P到直线01623yx的距离的最大值是___________。12．直线1xy被椭圆12422yx所截得的弦的中点坐标是_____________。13．若椭圆193622yx的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是______________。14．已知椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使||2||MFMP之值为最小的