2018丰台区高三数学(理)一模试题及答案

丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第1页共10页丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设全集{|}5Uxx，集合{|}20Axx，则UAð(A){|}2xx(B){|2}xx(C){|25}xx(D){|25}xx（2）已知命题p：1x，21x，则p为(A)1x，21x(B)1x，21x(C)1x，21x(D)1x，21x（3）设不等式组220,20,0xyxyx表示的平面区域为，则(A)原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点00(,)Pxy，则000xy（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的2a，那么判断框中填入的条件可以是(A)5n(B)6n(C)7n(D)8n（5）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos,sinxy（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)sin(B)2sin(C)cos(D)2cos（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)23(B)43(C)2(D)831n，2a否是开始结束11aa?输出a1nn22正视图侧视图俯视图12丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第2页共10页xy-111223-1-2456（7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4(B)8(C)12(D)24（8）设函数π()sin(4)4fxx9π([0,])16x，若函数()()yfxaaR恰有三个零点1x，2x，3x123()xxx，则123xxx的取值范围是(A)5π11π[,)816(B)5π11π(,]816(C)7π15π[,)816(D)7π15π(,]816第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是1z，2z，则21zz____．（10）已知数列{}na的前n项和2nSnn，则34aa____．（11）已知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线2213yx的一个焦点，则M的标准方程为____．（12）在△ABC中，2a，4c，且3sin2sinAB，则cosC____．（13）函数()yfx是定义域为R的偶函数，当0x时，函数()fx的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[1,1]x时，y的取值范围是____；②如果对任意[,](0)xabb，都有[2,1]y，那么b的最大值是．（14）已知C是平面ABD上一点，ABAD，1CBCD．①若3ABAC，则ABCD____；②若APABAD，则||AP的最大值为____．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数2sin()2cos(1)1cosxfxxx．（Ⅰ）求()fx的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()fx的单调递减区间．yxOBA丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第3页共10页（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABBC，ADBC∥，3AD，22PABCAB，3PB．（Ⅰ）求证：BCPB；（Ⅱ）求二面角PCDA的余弦值；（Ⅲ）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．（17）（本小题共13分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．53791113151719210.01步数（单位：千步）0.020.030.040.050.10.15频率组距分组频数频率[3,5)100.01[5,7)200.02[7,9)200.02[9,11)300.03[11,13)ab[13,15)2000.2[15,17)n0.2[17,19)100c[19,21]200.02合计m1.00（Ⅰ）求m和a的值；（Ⅱ）从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为1X和2X，试比较1X和2X的大小（只需写出结论）．PDBCAE丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第4页共10页（18）（本小题共13分）已知函数()e(ln1)()xfxaxaR．（Ⅰ）求函数()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若函数()yfx在1(,1)2上有极值，求a的取值范围．（19）（本小题共14分）已知点3(1,)2P在椭圆C：22221(0)xyabab上，(1,0)F是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线32y截得的弦长是定值．（20）（本小题共13分）已知无穷数列{}()nnaaZ的前n项和为nS，记1S，2S，…，nS中奇数的个数为nb．（Ⅰ）若nan，请写出数列{}nb的前5项；（Ⅱ）求证：“1a为奇数，(2,3,4,)iai为偶数”是“数列{}nb是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若iiab，1,2,3,i，求数列{}na的通项公式．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第5页共10页丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CCDCDABA第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）12i（10）14（11）28xy（12）14（13）[1,2]；2（14）34；2注：第13、14题，第一空3分，第二空2分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）由cos0x得，ππ2xk，()kZ，所以()fx的定义域为π{|π,}2xxkkZ．……………………2分因为2sin()2(1)cos1cosxfxxx22sincos2cos1xxxsin2cos2xx……………………4分π2sin(2)4x．……………………6分所以()fx的最小正周期为2ππ2T．……………………8分（Ⅱ）由ππ3π2π22π242kxk，……………………10分可得π5πππ88kxk，……………………11分所以()fx的单调递减区间为ππ[π,π)82kk，π5π(π,π]28kk()kZ．………………13分丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第6页共10页（16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面=ABCDAB，因为BC⊥AB，且BC平面ABCD所以BC⊥平面PAB．……………………3分因为PB平面PAB，所以BC⊥PB．……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB中，因为=2PA，=3PB，=1AB，所以222=+PAABPB，所以PB⊥AB．……………………5分所以，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．所以(1,0,0)A，(0,0,0)B，(0,2,0)C，(1,3,0)D，(0,0,3)P，(1,1,0)CD，(0,2,3)PC．易知平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1)n．……………………6分设平面PCD的一个法向量为=(,,)xyzm，则00CDPCmm，即23xyyz，令=2z，则=(3,3,2)m．……………………8分设二面角PCDA的平面角为α，可知为锐角，则210coscos,5334nmnmnm，即二面角PCDA的余弦值为105．……………………10分（Ⅲ）解：因为点E在棱PA，所以AEAP，[0,1]．……………………11分因为=1,0,3)AP（，所以=,0,3)AEλλ（，(1,0,3)BEBAAE．……………………12分又因为//BE平面PCD，m为平面PCD的一个法向量，所以0BEm，即3(1)20，所以1=3λ．……………………13分所以23(,0,)33BE，所以7==3BEBE．……………………14分PDBCAExyzABCDPE丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第7页共10页（17）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为100.01m，所以1000m．……………………2分因为0.2nm，所以200n，所以400a．……………………4分所以1000m，400a．（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25．……………………5分所以2(3,)5XB，03033227(0)()()55125PXC；12133254(1)()()55125PXC；21233236(2)()()55125PXC；3033328(3)()()55125PXC．………………7分所以，X的分布列为X0123P2712554125361258125……………………８分26()355EX.……………………10分（Ⅲ）12XX．……………………13分（18）（本小题共13分）解：函数()fx的定义域为(0,)，()exafxx．……………………1分（Ⅰ）因为(1)efa，(1)efa，……………………3分所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为(e)(e)(1)yaax，即(e)yax．……………………5分（Ⅱ）()exafxx．（ⅰ）当0a时，对于任意1(,1)2x，都有()0fx，……………………6分所以函数()fx在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意．……………………8分（ⅱ）当0a时，令()exagxx，则2()e0xagxx．……………………9分所以()gx在1(,1)2上单调递增，即()fx在1(,1)2上单调递增，……………………10分丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第8页共10页所以函数()fx在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2ff……………………12分所以e0,e20.aa所以ee2a．所以a的取值范围是e(,e)2．……………………13分（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为)0,1(