【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学案：第1讲-2-1-绝对值三角不等式

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b||a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立【解析】当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．【答案】B教材整理3三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D.不可能比较大小【解析】当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]运用绝对值不等式求最值与范围对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．【精彩点拨】令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.【自主解答】法一对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二t＝|x＋1|＋|x＋2|＝－2x＋3，x－2，1，－2≤x≤－1，2x＋3，x－1.∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.因此实数m的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因为f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．含绝对值不等式的证明设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：ax＋bx22.【精彩点拨】不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．【自主解答】依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.又|x|m，∴|x||a|，|x||b|，|x|1，从而|x|2|b|.因此ax＋bx2≤ax＋bx2＝|a||x|＋|b||x2||x||x|＋|x|2|x2|＝2，即ax＋bx22.1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1).【导学号：32750018】【证明】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|1，∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋11＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．[探究共研型]绝对值不等式的理解与应用探究1不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件是怎样的？【提示】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.探究2你能给出定理2的几何解释吗？【提示】在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c||a－b|＋|b－c|.已知a，b∈R，则有(1)|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是________；(2)|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是________．【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别求解．【自主解答】(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔|a|－|b||a－b|≤1，因此|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|＋|b||a＋b|≥1.因此|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是a≠－b.【答案】(1)a≠b(2)a≠－b1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．[再练一题]3．条件不变，试求：(1)||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件；(2)|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件．【解】(1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔|a|－|b||a－b|＜1，所以||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件是ab＜0.(2)因为|a|＋|b||a＋b|＞1⇔|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0⇔ab＜0且a≠－b，所以|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.[构建·体系]绝对值三角不等式——绝对值的几何意义—绝对值三角不等式—三个实数的绝对值不等式—求最值与范围1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D.|a－b|＜|a|＋|b|【解析】∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.【答案】B2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|1成立的充分不必要条件可以是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1D.b－1【解析】当b－1时，|b|1，∴|a|＋|b|1，但|a|＋|b|1⇒/b－1(如a＝2，b＝0)，∴“b－1”是“|a|＋|b|1”的充分不必要条件．【答案】D3．已知四个命题：①ab⇒|a|b；②ab⇒a2b2；③|a|b⇒ab；④a|b|⇒ab.其中正确的命题是________．【解析】当ab时，|a|≥ab，①正确．显然②③不正确．又当a|b|时，有a|b|≥b，④正确．【答案】①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.【导学号：32750019】【解析】∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.【答案】35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．【解】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有()A．|a|＞|b|＞|c|B．|ab|＞|bc|C．|a＋b|＞|b＋c|D.|a－c|＞|a－b|【解析】当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.【答案】D2．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系为()A．mnB．mnC．m＝nD.m≤n【解析】由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得|a|－|b||a－b|≤1，|a|＋|b||a＋b|≥1.【答案】D3．已知a，b∈R，ab0，则下列不等式中不正确．．．的是()A．|a＋b|＞a－bB．2ab≤|a＋b|C．|a＋b||a|＋|b|D.ba＋ab≥2【解析】当ab0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．【答案】C4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a||D.b＜||a|－|c||【解析】b＞|a－c|＞|a|－|c|，b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，∴b＞||a|－|c||，故C成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】D5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()【导学号：32750020】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．【答案】A二、填空题6．设a，b∈R，|a－b|2，则关于实数x的