高等数学-导数与微分公式概念

导数与微分๑▪导数：f′(x0)=lim∆x→0ΔyΔx=lim∆x→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0▪f(x)在点x0处可导的充要条件是f(x)在点x0处的左导数f′−(x0)和右导数f′+(x0)都存在并且相等.▪若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f′−(x0)和f′+(x0)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.▪曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为：y-f(x0)=−1f′(x0)(x-x0).▪求导法则：设u=u(x),v=v(x)可导，则[u±v]′=u′±v′[Cu]′=Cu′(C为常数)(uv)′=u′v+uv′[uv]′=u′v−uv′v2(v≠0)反函数的导数=其直接函数导数的倒数.▪1.C′=0（C为常数）2.(xμ)′=μxμ−13.(sinx)′=cosx4.(cosx)′=-sinx5.(tanx)′=sec2x6.(cotx)′=-csc2x7.(secx)′=secxtanx8.(cscx)′=-cscxcotx9.(ax)′=axlna(a0,a≠1)10.(ex)′=ex11.(logax)′=1xlna(a0,a≠1)12.(lnx)′=1x13.(arcsinx)′=1√1−x2(|x|1)14.(arccosx)′=-1√1−x2(|x|1)15.(arctanx)′=11+x216.(arccotx)′=-11+x217.(1x)′=-1x218.(√x)′=12√x▪链锁规则：设y=f(u),u=φ(x)都在相应的区间内可导，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dydx=dydu∙dudx或y′(x)=f′(u)∙φ′(x)▪高阶导数：设y=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an则y(n)=a0n!,y(n+1)=0.(ax)(n)=axlnna(ex)(n)=ex(ex)(2n)=e2x∙2n[ln(1+x)](n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n(sinx)(n)=sin(x+nπ2)(cosx)(n)=cos(x+nπ2)▪隐函数求导：用复合函数求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导.▪对数求导法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数求导方法求出导数.▪参数方程求导：参数方程{x=φ(t)y=ψ(t),dydx=dydtdxdt,d2ydx2=(dydx)′dxdt▪微分▪可微：∆y=f(x0+∆x)−f(x0)=A∆x+o(∆x),dy|x=x0=A∆x▪可导⟺可微⇀↚连续⇀↚有极限微分形式不变性：无论u是自变量还是另一个变数的可微函数，则dy=f′(u)du.▪近似公式：1)√1+xn≈1+xn2)sinx≈x3)tanx≈x4)ex≈1+x5)ln(1+x)≈x▪设函数y=f(x)为可导函数，称导数f′(x)为f(x)的边际函数.f′(x)在点x0处的值f′(x0)为边际函数值.即：当x=x0时，x改变一个单位，y改变f′(x0)个单位.▪弹性函数：EyEx=f′(x)xf(x).商品在P0处的需求弹性：η|P=P0=η(P0)=-f′(P0)P0f(P0).商品在P0处的供给弹性：ε|P=P0=ε(P0)=-φ′(P0)P0φ(P0).