【人教版】2017年中考数学：题型(4)反比例函数与一次函数综合题(含答案)

1题型四反比例函数与一次函数综合题针对演练1.如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象有公共点A(1，2)，直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.(1)求k和m的值；(2)求点B的坐标；(3)求△ABC的面积．第1题图2.已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图23.如图，反比例函数2yx的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2yx，当y＜－1时，写出x的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4.(2016巴中10分)已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．第4题图5.如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．第5题图36.如图，直线y1＝14x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝mx(x0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1y2时，x的取值范围；(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图7.如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图8.(2016金华8分)如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．第8题图49.如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第9题图10.如图，点B为双曲线y＝kx(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝kx与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.(1)求k的值；(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第10题图【答案】1．解：(1)∵点A(1，2)是一次函数y＝kx＋1与反比例函数y＝mx的公共点，∴k＋1＝2，1m＝2，∴k＝1，m＝2；(2)∵直线l⊥x轴于点N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，∴点B的横坐标为3，将x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4，∴点B的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点A作AD⊥直线l，垂足为点D，5由题意得，点C的横坐标为3，∵点C在反比例函数图象上，∴y＝2x＝23，∴C点坐标为(3，23)，∴BC＝BN－CN＝4－23＝103，又∵AD＝3－1＝2，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×103×2＝103.第1题解图2．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴22xx，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．6∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第2题解图3．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴21,211kbkkbb解得，∴一次函数的解析式为y＝x＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2yx，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)，设点P(m，n)，7∵S△ODP＝2S△OCA，∴12×1×(－n)＝2×12×1×1，∴n＝－2，∵点P(m，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝2m，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，－2)．4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OA＝3，OD＝2.∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)．将点A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6.……………………(3分)将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10，∴点C的坐标为(－2，10)．将点C(－2，10)代入y＝nx，得10＝2n，解得n＝－20，∴反比例函数的解析式为20yx；………………………(5分)(2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20yxyx解得x1＝－2，x2＝5.………………………………………(7分)8将x＝5代入204,yx∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)；……………(8分)(3)－2≤x＜0或x≥5.……………………………………(10分)【解法提示】不等式kx＋b≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.5．解：(1)∵点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点，∴m＝－2，∴反比例函数解析式为2yx，∴n＝1，∴点A(－2，1)，将点A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得∴一次函数的解析式为y＝－x－1；(2)结合图象知：当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求，∵A(－2，1)，∴A′(－2，－1)，设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，∴y＝－13x－53，令y＝0，得x＝－5，9则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第5题解图6．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8x；(2)x4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx，D点坐标满足函数关系式，10即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第6题解图7．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第7题解图11(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．8．解：(1)当y＝0时，得0＝33x－3，解得x＝3.∴点A的坐标为(3，0)；……………………………………(2分)(2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t,点E的坐标是(3，t).在Rt△AOB中，tan∠OAB＝OBOA＝33，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝12t，AF＝AC·cos30°＝32t，12∴点C的坐标是(3＋32t，12t)．∵点C、E在y＝kx的图象上，∴(3＋32t)×12t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝23，∴k＝3t＝63；……………………………………………(5分)②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：由①知，点E的坐标为(3，23)，设点D的坐标是(x，33x－3)，∴x(33x－3)＝63，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，∴点D的坐标是(－3，－23)，∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)第8题解图9．解：(1)∵双曲线y＝kx经过点D(6，1)，∴6k＝1，解得k＝6；(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，∴BD＝6，∴S△BCD＝12×6×h＝12，解得h＝4，13∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x＝－2，∴点C的坐标为(－2，－3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则∴直线CD的解析式为y＝12x－2；(3)AB∥CD.理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，设点C的坐标为(c，6c)，∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则∴直线AB的解析式为y＝－1xc＋1，设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则∴直线CD