解三角形课件

学业分层测评1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)阶段一阶段二阶段三1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点)2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)[基础·初探]教材整理1余弦定理阅读教材P13“思考”以上部分，完成下列问题．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC1．在△ABC中，若b＝1，c＝3，A＝π6，则a＝________.【解析】a＝b2＋c2－2bccosA＝1.【答案】12．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cosA＝916，则b＝________.【解析】由余弦定理可知25＝b2＋16－2×4bcosA，即b2－92b－9＝0，解得b＝6.【答案】6教材整理2余弦定理的变形阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．1．余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22caa2＋b2－c22ab2．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为．直角钝角锐角1．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则B＝________.【解析】cosB＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∴B＝60°.【答案】60°2．在△ABC中，若b2＋c2－a20，则△ABC必为________三角形.【导学号：91730008】【解析】∵cosA＝b2＋c2－a22bc0，∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．【答案】钝角[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：____________________________________________________解惑：_____________________________________________________[小组合作型]已知两边及一角解三角形在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形．【精彩点拨】法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．【自主解答】法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB，∴2＝3＋c2－23·22c，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝3·sin45°2＝32.又∵ab，∴AB，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3，∴c＝2＋3＝6＋22.或用正弦定理求边c，由csinC＝bsinB得c＝bsinCsinB＝2·sin75°sin45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝6－22，故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角．[再练一题]1．在△ABC中，若b＝3，c＝33，B＝30°，解此三角形.【导学号：91730009】【解】法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.法二由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.综上所述，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°.已知三边或三边关系解三角形已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求三角形的各角大小．【精彩点拨】设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k，代入cosA，cosB，cosC求解．【自主解答】设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋3＋12k2－4k2263＋1k2＝22，∴A＝45°.同理可得cosB＝12，B＝60°.∴C＝180°－A－B＝75°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．[再练一题]2．已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．【解】∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12.∵0°C180°，∴C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.[探究共研型]用余弦定理判定三角形的形状探究1若△ABC是锐角三角形，则其边长a，b，c满足什么条件？【提示】若△ABC是锐角三角形，则cosA0，cosB0，cosC0，即a2＋b2c2，b2＋c2a2，a2＋c2b2.探究2若a2＋b2c2，则△ABC是什么三角形．反之呢？【提示】若a2＋b2c2，则△ABC是钝角三角形，反之不成立．若钝角△ABC的三边长分别为a，a＋1，a＋2，求实数a的取值范围．【精彩点拨】首先a，a＋1，a＋2需满足构成三角形的条件，其次要满足a＋2对应的角为钝角．【自主解答】由题意知，a＋2是三角形的最大边，故a0，a＋a＋1a＋2，a2＋a＋12－a＋222aa＋10，即a0，a1，a2－2a－30，解得1a3.用余弦定理判断三角形的形状1．在△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.2．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.3．在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解．[再练一题]3．若2,3，x是锐角三角形的三边，求实数x的取值范围．【解】由题意可知22＋32－x20，22＋x2－320，1x5，即－13x13，x5或x－5，1x5，∴5x13.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.【解析】由余弦定理得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝25＋9－492×5×3＝－12.∵0∠BACπ，∴∠BAC＝23π.【答案】23π2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________.【解析】∵c2＝1＋4－2×1×2cos60°＝1＋4－2＝3，∴c＝3.【答案】33．若△ABC的三边长为2,3,4，则该三角形是______三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】∵22＋32－42＝4＋9－160，∴该三角形是钝角三角形．【答案】钝角4．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝______.【导学号：91730010】【答案】15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋3bc，求：(1)A的大小；(2)2sinBcosC－sin(B－C)的值．【解】(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，所以A＝π6.(2)2sinBcosC－sin(B－C)＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsinC)＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝12.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(三)点击图标进入…