函数的连续性(课件)

四、函数的连续性1.函数的增量.x,xxx),x(Ox,)x(O)x(f0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy(一)、连续的定义2.连续的定义.x)x(f),x(f)x(flim,DxD,f(x)y9.200xx00连续在则称若的定义域为设函数定义.)x(fx0的连续点称为:A)x(flim0xx定义的区别在于与.x)x(f)1(:A)x(flim0xx0可以无定义在)x(fA)x(fA)2(00或,xxx0设),()(0xfxfy,0xxx0就是.0y)x(f)x(f0就是0ylim)x(f)x(flim9.20x0xx0可写成中定义.x)x(f,0ylim,DxD,f(x)y:9.200x0连续在则称若的定义域为设函数可写成定义201yxxx例：证明在处连续22000020020limlim[]lim[2()]0xxxyxxxxxxyxxx证明：在处连续例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2.9知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf性质2.14)x(f)0x(f)0x(fx)x(f0000处连续在函数.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.连续函数与连续区间:]b,a[)x(f上连续在闭区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.定理2.3:基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在(a,b)内连续:连续在00x)x(f),b,a(x连续在)b,a()x(f)1()a(f)x(flim)2(ax)b(f)x(flim)3(bx(二)、函数的间断点及类型:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()().()(lim)3()(lim)2(.,)()1(,)(:00000000或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称存在但不等于不存在无定义但在的去心邻域内有定义在处满足下面三条件之一在设定义xfxxxfxfxfxfxxxfxxfyxxxx._____,__)1x)(2x(4x2)x(xf(x)32间断点为个的间断点个数为例1x=2例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxfoxy.)(,)(00的第一类间断点为函数则称点在存处的左、右极限都在点如果xfxxxf1.第一类间断点1)跳跃间断点)0()0(00xfxf2)可去间断点.)x(fxx)x(f)2(),x(fA)1(,A)x(flim000xx0的可去间断点为函数则称点处无定义在点或但注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.例5的连续性在讨论函数1x,1x,x11x,1x0,1,x2)x(foxy112xy1xy22)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy1122.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.0为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.点这种情况称为振荡间断注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。★,,1,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxf在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★12/16例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xcoslim)00(f0x,1)xa(lim)00(f0x,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a(三)、连续函数的性质.x)0)x(g()x(g)x(f),x(g)x(f),x(g)x(f,x)x(g),x(f000处也连续在点则处连续在点若函数.x)x(f),x(f),0)x(f()x(f1:02连续在可得例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.)x()x(f)x(flim00xx0定义区间故有.x)]x(g[f,)x(gu)u(f,xg(x)0000连续在则点连续在点连续在若复合函数的连续性(四)、闭区间上连续函数的性质定理1(有界性定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界..)b,a(),b,a[]b,a(]b,a[:结论未必成立或改成若注意]1,0(x1y:在如连续但无界例如,,2maxy,sin1xy,]2,0[上在;0miny.)()()())()(()()(,),(0000值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI定义:定理2(最大、最小值定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可取到最大值,最小值.)(f)x(fminm,)(f)x(fmaxM,2]b,a[x21]b,a[x1即ab21xyo)(xfy注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;xyo2)(xfyxyo)(xfy2112.若区间内有间断点,定理不一定成立.Th3(介值定理)c)x(f],b,a[x],M,m[c,,m,M,]b,a[)x(f00使一定则最小值分别为其最大连续在设MCmab1232x1xxyo)(xfy.)(至少有一个交点直线与水平连续曲线弧Cyxfy几何解释:定义:.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxf推论(零点存在定理)0)x(f),b,a(x,0)b(f)a(f,]b,a[)x(f00使则连续在设ab321几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfyxyo)(xfy注意(1)若f(x)在[a,b]上单调,则只有唯一零点.ab1xyo)(xfy(2)若[a,b]改为(a,b)结论未必成立.2x12x1x1x1)x(f:如在(1,2)连续,但Th2.6不成立.xyo)(xfy211-1例1.)1,1(x22x内必有实根在区间证明方程证,x2)x(f2x令,]1,1[)x(f上连续在则,021)1(f又,01)1(f由零点定理,使),1,1(,0)(f.)1,1(x22x内必有实根在区间方程例2.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即000)(),1,0(:[0,1],x1,f(x)0,[0,1]f(x)3xxfx使证且满足连续在设例x)x(f)x(F令证:在[0,1]连续,01-f(1)F(1)0,f(0)F(0)由零点定理使),1,0(x0000x)f(x,0)x(F即(五)、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.求极限的又一种方法.反函数的连续性.四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.思考题解答不正确.例函数0,210,)(xxexf)(xf在)1,0(内连续,.02)1()0(ef但)(xf在)1,0(内无零点.一、证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.二、若)(xf在],[ba上连续，bxxxan21则在],[1nxx上必有，使nxfxfxfxfn)(......)()()(21.练习题思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|)(|xf、)(2xf在00x连续一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.练习题答案