线性方程组典型习题及解答

线性方程组1.用消元法解方程组525222202122325432153215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.解:方程组的增广矩阵:420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321600000110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.2.讨论为何值时,方程组23213213211xxxxxxxxx有唯一解、无解和有无穷多解。解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。BA222221121001101111111111111111于是，当2,1时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2)1(,21,213321xxx当2时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211xxx，其中32,xx为自由未知量。3.当ba,取何值时线性方程组bxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx5432154325432154321334536223231有解？并求其解。解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换：对方程组的增广矩阵A施行初等行变换可变换为.20000000000362210251101baa。由此可知，2Ar，而且当02baa，即2,0ba时，2ArAr，从而原方程组有无穷多解：为任意常数54354325431,,,6223,25xxxxxxxxxxx