直线与平面垂直的判定ppt

直线与平面垂直的判定主讲朱燕钿ab思考题：（1）已知直线a与b垂直且相交,若以b为旋转轴,直线a绕b旋转一周得到什么图形？（2）b与α有什么关系？（垂直）αmeastwestaelB结论：旗杆与地面内任意一条过点B的直线垂直。问题1:旗杆所在的直线与地面内不经过B点的直线的位置关系如何？为什么？问题2：你能给直线与平面垂直下定义吗？bb如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.一、直线与平面垂直的定义直线l叫做平面α的垂线，平面l叫做直线α的垂面．它们唯一的公共点即交点叫做垂足．lPα画法：问题3:你是如何理解这个定义的？1.“任意一条直线”说明直线l必须垂直于平面内的所有直线2.如果l⊥α,则l垂直于平面内的所有直线一、直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直。lPα3、过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．lPαlPα4、过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．PPll问题4：你能就直线垂直平面举几个例子吗？例子一例子二（1）如果直线a垂直于平面内α的一条直线，则a⊥α？（2）如果直线a垂直于平面α内的两条相交直线则a⊥α？aαbcacbα问题4:怎样才能判定直线与平面垂直？探究：我们一起来做一个试验：ABCDABCD过∆ABC的顶点A番折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）问题5：(1)AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在的平面垂直？ABCDABCDABCDACDBP72思考题(1)有人说;折痕AD与桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD⊥α？(2)由这个试验，你能得到什么结论？ABCABCDABCD结论：当AD⊥BD,AD⊥DC时，AD垂直于桌面所在的平面。（1）如果直线a垂直于平面内α的一条直线，则a⊥α？（2）如果直线a垂直于平面α内的两条相交直线则a⊥α？acbα问题4:怎样才能判定直线与平面垂直？如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．二、直线和平面垂直的判定定理mnl∵m⊂αn⊂αm与n相交l⊥ml⊥n∴l⊥αα你能证明这个定理吗？αBl2已知m、n是平面α内的两条相交直线，l∩α=B,l⊥ml⊥n,求证：l⊥αmnαBl2已知m、n是平面α内的两条相交直线，l∩α=B,l⊥ml⊥n,求证：l⊥αmnmnαmnBl3平移l到B点，垂直关系不变lαmngB4lαmngBg5lαmnBgAA1AB=A1B6在l取点A、A1使AB=A1B,则m、n是AA1的垂直平分线。lαmngABA1’E10lαmngABA1’CDE10lαmngABCDA1’E11AC=A1CAD=A1DlαmngABCDA1E△ACD≌△A1CD17∵AC=A1CAD=A1DCD=CD∴∆ACD≌∆A1CDlαmngABCDA1E∠ACE=∠A1CE18∴∠ACD=∠A1CDlαmngABCDA’1EAC=A1CCE=CE19∵AC=A1C∠ACE=A1CECE=CE∴∆ACE≌∆A1CElαmngABCDA1EAE=A1E21lαmngABCDA1EAE=A1EAB=A1B22lαgABA1EAE=A1EAB=A1B23g是α内的任意一条直线lαmngB4∵l⊥ml⊥nm.,n相交∴l⊥α内的任意一条直线∴l⊥α如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线和平面垂直的判定定理：mnl结论：要证明直线l垂直于平面α，只需在平面内找两条相交直线m、n分别与l垂直α思路：线线垂直＝》线面垂直例子一例1如图，已知a∥b,a⊥α，求证：b⊥α证明：在平面α内作两条相交直线ｍ,n∵a⊥α∴a⊥ｍ，a⊥n又因为b∥a，所以b⊥ｍ，b⊥n。又因为ｍ⊂α，n⊂α，ｍ，n是两条相交直线，所以b⊥αabαmn证明：设m是α内的任意一条直线．m//baamabbmm又是内的任意一条直线练习一1、如果一条直线垂直与平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直()2、垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边()3、如果三条直线共点且两两垂直,那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面()…练习二有一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的两个下端固定在地面的两点上(和旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点都和旗杆脚的距离为6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？AD解：如图∵AB=8BC=6AC=10∴AC2=AB2+BC2同理AD2=AB2+BD2∴AB⊥BCAB⊥BDBC交AD于B∴AB⊥面BCD∴旗杆就和地面垂直对于判定定理应注意两点.一、平面内的两条相交直线二、是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.三、线线垂直线面垂直线线垂直mnl例2已知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径,C是⊙O上异于A、B的任一点，求证：PC⊥BC．证明：∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC又AB是⊙O的直径∴∠ACB=900即AC⊥BC∵PA∩AC=A∴BC⊥面PAC∴BC⊥PC结论:要证明直线垂直于直线可以转证线面垂直练习三、p74第1题（2）若，求证：MN面PCDPA例3如图，已知矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1）PA;MNCD45PDAPABCDMNE三、课堂小结1定义中的“任何一条直线”的理解2注意两个结论(两个唯一性定理)：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直3判定直线与平面垂直的方法：(1)定义法，注意“任何一条直线”的理解(2)判定定理，注意“两条相交直线”(3)已知a∥b,a⊥α，则：b⊥α4线⊥面线⊥线综合题：如图空间四边形ABCD中，AB=AC,BD=DC(1)试判断BC与AD是否垂直？(2)试述如何过点D作平面ABC的垂线？ABCDEEADHH作业1已知α∩β＝l,PA⊥α于A.PB⊥β于B,AQ⊥l.求证：l⊥BQ2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证：BC1⊥平面A1B1CD3、思考题：p73探究题ABCDC1B1A1D1PABQβα3.如图,M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,求证:BDMAC平面MBCDAO四、课堂练习1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下结论①AB⊥面BCC1B1②AC⊥面CDD1C1③AC⊥BDD1B1④AC1⊥面BCC1B1其中正确的结论是()A.①③B.②④C.①②D.③④AABCDC1B1A1D1