材料力学课件(配套孙训方的教材)7-2

§2平面应力状态的应力分析主应力一、公式推导：axycxbaycnxyyx0F0nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx二、符号规定：α角由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。nx正应力yx拉应力为正x压应力为负切应力yx使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。MPa20MPa103MPa30abc1nxy22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32.22sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33.12n230100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33.1006030yxMPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。xxy22cos2yx2sinx2cos22yx2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。xy22cos2yx2sinx2sin2sin2yx2cosx2cos045max450max4500045minmax铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。应力圆一、应力圆的方程式222)(Ryaxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx222222xyxyx二.应力圆的画法在τα－σα坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d连ad交σα轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a(x,x)d(y,y)cxy2yyxADxo３、几种对应关系点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。yyxADxa(x,x)d(y,y)co点面对应yyxxcaAc转向对应、二倍角对应anb试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。4.42.2n030efoadcMPa2.5030MPa8.0030060对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为MPa。50100xox,100y,50adcx2yx222222xyxyx2max222xyxx22285250100100xMPax40主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a(x,x)d(y,y)cxy2o222222xyxyx22122xyxyx1202yxxtg2200002)90(2tgtg22222xyxyx已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、画各点应力状态图1323412、计算各点主应力123bhIz4500cmzIMy14310500501010MPa1001点021MPa10032点(处于纯剪状态)AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa30102MPa3033点(一般平面状态)zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005.3725601012043MPa5.22MPa6.58102MPa6.834点MPa10010203自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面.3abd060060abcxad面,db面是该点的主平面.xy0xF030cos30sin00abxabAA3x3102333构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力A50100100200o100,20050,100c在应力圆上量取MPa235102MPa1103MPa5.172max平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩2sin2x)2cos1(2xx＝10322minmaxxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx平面应力状态的几种特殊情况扭转2cosx2sinxx＝1x3-＝xminmaxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx02＝弯曲平面应力状态的几种特殊情况22minmax)2(xx2sin2yx2cosxxy22cos2yx2sinx221322xxx2sin2cos22xxx2cos2sin2xx221322xyxyx