2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合2,2,,AxyxyBxyyxAB，则A.11，B.24，C.1124，，，D.2.已知1,1iabiabRi是的共轭复数，则abA.1B.12C.12D.13.设向量1,1,1,3,2,1abc，且abc，则A.3B.2C.2D.34.101xx的展开式中4x的系数是A.210B.120C.120D.2105.已知三棱锥SABC中，,4,213,2,62SABABCSBSCABBC，则三棱锥SABC的体积是A.4B.6C.43D.636.已知点A为曲线40yxxx上的动点，B为圆2221xy上的动点，则AB的最小值是A.3B.4C.32D.427.设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p为A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8.若21abcacb且，则A.logloglogabcbcaB.logloglogcbabcaC.logloglogbaccbaD.logloglogbcaabc二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分。9．下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10.已知双曲线C过点3,2且渐近线为33yx，则下列结论正确的是A.C的方程为2213xyB.C的离心率为3C.曲线21xye经过C的一个焦点D.直线210xy与C有两个公共点11.正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为BC，11CCBB，的中点.则A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等12.函数fx的定义域为R，且12fxfx与都为奇函数，则A.fx为奇函数B.fx为周期函数C.3fx为奇函数D.4fx为偶函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__________种.14.已知43cossin65，则11sin6__________.15.直线l过抛物线2:20Cypxp的焦点1,0F，且与C交于A,B两点，则p__________，11AFBF__________.（本题第一空2分，第二空3分.）16.半径为2的球面上有A,B,C,D四点，且AB,AC,AD两两垂直，则ABC，ACD与ADB面积之和的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在①132bba，②44ab，③525S这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列na的前n项和,nnSb是等比数列，__________，152,3bab，581b，是否存在k，使得112kkkkSSSS且？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18.（12分）在ABC中，90A，点D在BC边上.在平面ABC内，过D作DFBC且DFAC.（1）若D为BC的中点，且CDF的面积等于ABC的面积，求ABC；（2）若=453cosABCBDCDCFB，且，求.19.（12分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形.SA平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若12EFBC，求二面角BSCD的余弦值.20.（12分）下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012~2018年的年份代码x分别为1~7）.（1）根据散点图分析xy与之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得771110744517iiiiiyxy，，求yx关于的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到0.01）附：回归方程yabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121,niiiniixxyybaybxxx.21.（12分）设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点31,2，且离心率为32.F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF.（1）求E和F的方程；（2）若直线:30lykxk与F交于A,B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使ACBD？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.22.（12分）函数01axfxxx，曲线yfx在点1,1f处的切线在y轴上的截距为112.（1）求a；（2）讨论2gxxfx的单调性；（3）设111,nnaafa，证明：222lnln71nna.2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学参考答案一、单项选择题：1、C2、D3、A4、B5、C6、A7、C8、B二、多项选择题：9、A，D10、A，C11、B，C12、A，B，C三、填空题：13、3614、54-15、2；116、8四、解答题：251115513225122212112173,81,1,3,(3)1,10,1,3,11(1)329133,222329329313,623,2222,nnnkkkkkkkbbbbqbbaabbaaadakkSkkkSkkkSkkkSSSS、解析根据题意是等比数列，得选①时，要使只要4454421221211231301013,4313623331,27,111,2812514,12514281111251456222,,-281110111,-28111-5622228kkkkkkkkkkkkabaabadSkkSkkkSkkkSSSSkkkk存在符合题意选②时，要使且551111,2825,1,2,9,2907942722kkSadakkkk且不存在符合题意选③时同理求得存在符合题意。符合题意。即存在使，此时存在选③同理可得符合题意。不存在正整数为递减数列，此时选②同理可得符合题意。即存在使此时存在中，选①在等差数列法二：401,0,411-2,13928402,0,4,163,3,10,1625162512125kaaaaknakanakaaaaknadbbaaakknnnkknn本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，优题速享是高考必考内容，题干的选择权交给考生是个新意，充分体现了能力立意和情境创新的考纲要求，同时自主选择，也让部分成绩薄弱的同学敢于尝试，激发做题兴趣。题目要求考生能够根据条件，自主分析，得出命题，并解决问题，这种自主推断题甚至是开放题后将成为新高考的热点。18.【解析】（1）如图所示，D为BC的中点，所以BD=CD.11221=2,90430=9030=60.ABCCDFSSABACCDDFBCACBCABAACBABC又因，即从而又，从而，所以452.ABCABACABACkBCk（2）由，从而，设，则3322444BCkCDk由BD=3CD，所以BD=，.22223432=,44DFACkBFDFBDkCFDFCDk因为，从而.（方法一）从而由余弦定理，得222222917251788cos2513342244kkkCFBFBCFCBCFBFk.21.[解析]本题第一问主要考查椭圆及圆方程的求法，是基础题，学生较易得分。第二问主要考查学生正确作图，合理转化，最终利用弦长公式进行推算。本问主要难在椭圆和圆的有机结合和对于几个线段的合理转化上。教学建议：平日加强对于简单圆锥曲线的综合问题，引导学生合理转化，多思少算。解：（1）由题意得：22222131432abcaabc解得：2,1,3abc所以椭圆的标准方程为：2214xy当3x时，21||2bPFa,所以圆方程为：22134xy（2）假设存在k使||||ACBD，设1122,,CxyDxy11||||,||||,||||22ACCFBDDFACBD||||1CFDF即||1CD由题意得：22(3)14ykxxy消去y整理得：222241834310kxkxk2221212221610834(31)=4141kkkxxxxkk22121212241||()441kxxxxxxk2212241||1||=141kCDkxxk即2244=41kk，显然上式不成立，故不存在k使||||ACBD。22.优题速享[解析]本题第一问和第二较为基础，学生较易得分；第二问主要考查学生的求导运算以及对于导数的提取公因式进行因式分解，有一定难度。第三问主要考查数列，函数和不等式的综合应用，利用分析法进行推理，考查数列的递推公式，数列型不等式放缩，以及构造函数证明，难度非常大。教学建议：平日教学加强对学生导数基础题目的练习，对于尖子生，要加强对于数列，函数，不等式的综合应用，教会学生不等式的放缩技巧，适当的拓展学生的思维。解：（1）'21(),(1)afxx'1(1)4akf又1(1)2af，所以切线方程为：11(1)24aayx即：13144aayx又切线在y轴上截距为112，所以3111,742aa（2）由（1）得7()1xfxx则27()(),1xgxxx定义域为(0,)'2277(1)(7)()()2()11(1)xxxxgxxxxx223376(7)(47)()2(7)01(1)(1)xxxxxxxxx()gx在(0,)上单调递增；（3）要证22|2lnln7|1nna即证