空间曲线及其在坐标面上的投影

空间曲线及其在坐标面上的投影1.空间曲线的一般式方程前面我们曾经把空间直线看作是两平面的交线，类似地，也可以把空间曲线看作是两张曲面的交线。设曲面的方程是，曲面的方程是，则其交线C上的点必定同时满足，的方程。不在C上的点一定不能同时满足这两个方程。10),,(1zyxF20),,(2zyxF12因此，联立方程组即为空间曲线C的方程，它称为空间曲线的一般式方程。2.投影柱面及投影曲线设空间曲线C的方程为,过曲线C上的每一点作坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于轴且过曲线C的柱面，称此柱面为曲线C关于面的投影柱面。这个柱面与面的交线称为曲线C在面上的投影曲线，简称投影。0),,(0),,(21zyxFzyxF0),,(0),,(21zyxFzyxFyxOyxOyxOyxOz3.投影曲线方程在方程组中消去变量Z，得方程。上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于Z轴的柱面。又因为C上的点的坐标满足方程组,当然也满足方程，所以C上的点都在此柱面上。方程就是曲线C关于面的投影柱面方程。它与面的交线就是C在面上的投影方程。同理，若分别从方程组中消去变量x或y，分别得0),,(0),,(21zyxFzyxF0),(yxF0),,(0),,(21zyxFzyxF0),(yxF0),(yxFyxOyxO00),(zyxFyxO0),,(0),,(21zyxFzyxF方程或，则曲线C在面与面的投影方程分别为与。例1求曲线在面上的投影方程，并问它在面上是怎样一条曲线？解消去z变量得，这是曲线C关于坐标面的投影柱面方程，所以曲线C在坐标面上的投影方程为,它是坐标面上的一个圆（见图8-29）。0),(zyG0),(zxHzyOxzO00),(xzyG00),(yzxH1:22222zyxyxzCyxOyxO2122yx02122zyxyxOyxOyxO例2求空间曲线C在坐标面上的投影曲线方程。解由所给方程组消去Z即得曲线C关于坐标面的投影柱面方程为，此柱面与坐标面的交线：即为曲线C在坐标面的投影曲线（见图8-30）。)(22222yxzyxzyxOyxO122yx0122zyxyxO如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面例3求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz（2）因为曲线在平面上，21z空间图形的界定（略）