高中数学-直线的参数方程

课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【课标要求】1．掌握直线的参数方程．2．能够利用直线的参数方程解决有关问题．【核心扫描】1．对直线的参数方程的考查．(重点)2．直线的参数方程中参数t的几何意义．(难点)第三节直线的参数方程课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接1．直线的参数方程自学导引过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为___________________________.2．参数的几何意义直线的参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点到定点M0(x0，y0)的距离．当M0M—→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取_____；当M0M—→与e反向时，t取_____；当点M与点M0重合时，t为____．x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)正数负数零课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接1．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的推导：设e是直线l的单位向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同)，则e＝(cosα，sinα)(α∈[0，π))．在直线l上任取一点M(x，y)，则M0M→＝(x，y)－(x0，y0)＝(x－x0，y－y0)．因为M0M→∥e，所以存在实数t∈R，使M0M→＝te，即(x－x0，y－y0)＝t(cosα，sinα)，于是x－x0＝tcosα，y－y0＝tsinα，即x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.名师点睛课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接所以可得参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)．其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量M0M，可为正、为负，也可为零．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【思维导图】2．在直线参数方程中，如果直线上的点M1、M2所对应的参数值分别为t1和t2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中＝12·(t1＋t2)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接题型一直线参数方程的标准形式【例1】已知直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)．(1)分别求t＝0，2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．[思维启迪]解答本题关键是理解直线的参数方程的意义．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解(1)由直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)知当t＝0，2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1)．(2)法一化直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)为普通方程为y－2＝33(x＋3)，其中k＝tanα＝33，0≤απ.∴直线l的倾斜角α＝π6.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接法二由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)，这是过点M0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求．(3)由上述可知直线l的单位方向向量e＝cosπ6，sinπ6＝32，12.∵M0(－3，2)，M(－33，0)，∴M0M—→＝(－23，－2)＝－432，12＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M—→|＝4，且M0M—→与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【反思感悟】(1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤απ)唯一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝π2时，直线的参数方程为x＝x0y＝y0＋t(t为参数)．(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋aty＝y0＋bt(a、b为常数，t为参数)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【变式1】直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________．解析由题意可得直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝5＋32t(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋12t－5＋32t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．答案6(3＋1)课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．(1)求|AB|；(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.[思维启迪]利用直线参数方程中参数的几何意义解题．题型二直线的参数方程与弦长公式【例2】解抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为x＝2＋15t，y＝25t(t为参数)，课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接其中tanα＝2，cosα＝15，sinα＝25，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－25t－20＝0.设FA→＝t1e，FB→＝t2e，其中e＝15，25，则t1＋t2＝25，t1t2＝－20.(1)|AB→|＝|FB→－FA→|＝|t2e－t1e|＝|t2－t1||e|＝|t2－t1|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（25）2＋80＝10.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接(2)由于AB的中点为M，则AM→＝MB→，∴FM→－FA→＝FB→－FM→，即FM→＝12(FA→＋FB→)，又FM→＝12(FA→＋FB→)＝t1＋t22e，故点M对应的参数为t1＋t22＝5，∴M(3，2)，|FM|＝t1＋t22＝5.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【反思感悟】设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)，如果l与C相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1、t2，此时M0A—→＝t1e，M0B—→＝t2e，e＝(cosα，sinα)，于是易得以下两个常见的公式：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)线段AB的中点M对应的参数t＝t1＋t22，且|M0M|＝|t1＋t2|2.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【变式2】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6，解(1)直线的参数方程是x＝1＋32t，y＝1＋12t(t是参数)(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，B1＋32t2，1＋12t2.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接[思维启迪]利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决．题型三直线参数方程的综合应用解设直线为x＝102＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0.则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝321＋11sin2α.【例3】过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【反思感悟】利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．所以当sin2α＝1时，即α＝π2，|PM|·|PN|的最小值为18，此时α＝π2.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【变式3】求直线l1：x＝1＋t，y＝－5＋3t(t为参数)和直线l2：x－y－23＝0的交点P的坐标，及点P与Q(1，－5)的距离．解将x＝1＋ty＝－5＋3t，代入x－y－23＝0，得t＝23，∴P(1＋23，1)，而Q(1，－5)，得|PQ|＝（23）2＋62＝43.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解析直线l1：kx＋2y＝k＋4，直线l2：2x＋y＝1，∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.答案－1高考在线——直线参数方程的应用技巧【例1】点击1直线参数方程与普通方程的互化(2009·广东理)若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)垂直，则k＝________．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．【例2】点击2参数方程与极坐标方程的综合问题(2010·辽宁高考)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.解(1)由已知，M点的极角为π3，且M点的极径等于π3，故点M的极坐标为π3，π3.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接(2)M点的直角坐标为π6，3π6，A(1，0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t(t为参数)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【例3】点击3直线参数方程的应用(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解法一(1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接法二(1)同法一．(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.由x2＋（y－5）2＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.解得：x＝1，y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1，2＋5)，B(2，1＋5)，又点P的坐标为(3，5)，故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【例4】(2011·全国新课标)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝