2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6DBCABB7-12DACDCC二．填空题13.314.乙15.7816.4三．解答题17.解：（Ⅰ）31()sin2cos21sin(2)1226fxxxx2分∵[0,]2x，∴72666x4分∴1sin(2)1226x∴函数()fx的值域为1,22．6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162fAA∴1sin(2)62A∵0A，∴132666A，∴5266A，即3A8分由正弦定理，232sin3sinabAB，∴2sin2B2034BB9分∴62sinsin()4CAB，4sinsin2cbCB，∴2b11分∴133sin22ABCSbcA12分18.解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则1131241()2CCPAC故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12.4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间60408分所以2K的观测值2200(40406060)8.0006.635(4060)(6040)(4060)(6040)k，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.12分19.解：（Ⅰ）在BDC中，延长BF交CD于点M，13OFOD,BDC是等边三角形F为BDC的重心13MFBM2分//EF平面ACD,EF平面ABMABMACDAM，且面面，//EFAM13AEAB,即点E为线段AB上靠近点A的三等分点.4分（Ⅱ）等边BCD中，ODBC，ODBCD平面，ABCBCD面面，交线为BC，ODABC平面6分如图以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz点A在平面BEF上，所以二面角DFBE与二面角DFBA为相同二面角.设2AB,则3ODOA，3(0,0,),(3,0,0),(0,1,0)3FAB3(0,1,),(3,1,0)3BFBA设平面AFB的法向量u(,,)xyz，则uu00BFBA即30330yzxy，取1x，则u(1,3,3)9分zyxAFOEDMCB又OA平面OBD，(3,0,0)OA,10分则cosu,OAuu31313133又二面角DFBE为钝二面角，所以余弦值为1313.12分20.解：（Ⅰ）设),(00yxP0(2)x，则220014xy，因为)0,2(),0,2(BA，则4144142220202020000021xxxyxyxykk2分(,)Qxy设(2)x所以4422212243kkxyxyxykk，整理得1422yx)2(x.所以，当4时，曲线2C的方程为)2(422xyx..4分（Ⅱ）设),(),,(2211yxFyxE.由题意知，直线AM的方程为：26yx，直线BM的方程为：22yx.由（Ⅰ）知，曲线2C的方程为1422yx)2(x，.7分联立)2(442622xyxyx，消去x，得2(91)60yy，得1961y联立)2(442222xyxyx，消去x，得2(1)20yy，得122y9分2212111111sin91222211111sin2222MAMFAMFyyMAMFSSMBMEMBMEBMEyy10分设918()911g，则()g在[1,3]上递增又(1)5,(3)7gg，OAOA12SS的取值范围为5,712分21.解：（Ⅰ）当1a时,()()()xhxfxgxex，()1,xhxe令()0,hx解得0x()=(0)1hxh极小值4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e()eln(1)ettfttgtatt，令1(1)txx，()elne,1xFxaxxax，1'()exFxax，设1()()extxFxax，21()extxx，由1x得，2211,01xxeexQ21'()e0xtxx，()tx在(1,)单调递增，即()Fx在(1,)单调递增，(1)1Fea，①当e10a，即e1a时，(1,)x时，()(1)0FxF，()Fx在(1,)单调递增,又(1)0F，故当1x时，关于x的方程elne0xaxxa有且只有一个实数解.8分②当10ea，即1ae时，1(1)0,'(ln)0lnFFaaaaaa，又lnln(1)1ae故00(1,ln),()0xaFx，当0(1,)xx时，()0Fx，()Fx单调递减，又(1)0F，故当01,xx时，()0Fx，在01,x内，关于x的方程elne0xaxxa有一个实数解1x.10分又0(,)xx时，()0Fx，()Fx单调递增，且22()ln1aaFaeaaaeea，令2()1(1)xkxexx，()()2xsxkxex,()e2e20xsx,故()kx在1,单调递增，又(1)0k(,0)(0,)()hx()hx递减极小值递增x00故()kx在1,单调递增，故()(1)0kak，故()0Fa，又0eaax，由零点存在定理可知，101(,),()0xxaFx，故在0,xa内，关于x的方程elne0xaxxa有一个实数解1x.此时方程有两个解.综上，e1a.12分22.解：（Ⅰ）223cos24103sinxxxyy2分所以曲线C的极坐标方程为24cos10.4分（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为11(,0,)R，其中1为直线l的倾斜角，代入曲线C得214cos10,设,AB所对应的极径分别为12,.21211214cos,10,16cos407分121223OAOB8分13cos2，满足016或56，l的倾斜角为6或56，则13tan3k或33.10分23.解：（Ⅰ）因为axaxxaxxf444)(，所以aa42，解得44a.故实数a的取值范围为]4,4[.4分（Ⅱ）由（1）知，4m，即424xyz.根据柯西不等式222)(zyyx2222221)2(4)(211zyyx21162)(42112zyyx8分等号在zyyx24即884,,72121xyz时取得.所以222)(zyyx的最小值为2116.10分