第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件

第五章波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,11)(112/33zzVzgv回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：这里比容v=V/N,平均热波长。易逸度z的定义为，其中μ为化学势。对波色气体，我们有：，由定义知显然成立；可由动量为0的态的平均占据数确定。函数一般地由下式确定：当z取0至1的值时，是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值）。对于n1有这是黎曼Zeta函数。当，发散。•产生凝聚的条件：把比容的方程改写为：凝聚要求当时，这必然成立（因是增函数）。这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为零的粒子组成。),1ln(1)(12/53zVzgTkPBTmkB22ez10zz01z0)1/(0zzn1)(lnnnlzzg)(zgn)(zgn)1()(1)1(1nnlglnn1n)1(ng).(2/3303zgvVn,00Vn)1(2/33gv)(zgn分割面方程由确定，由此可得临界温度和临界比容(固定温度T时):当（v一定）或（T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级。)1()(2/32/33gzgvcTcv)1(,)1(22/333/22/32gvvgmTkccBcTTcvv•大V极限下的易逸度z：对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由我们可反解出z:。因此在大V极限下我们有：•填布数与温度和比容的关系（大V极限下）：利用和上面的结果可得：粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。)1/(0zzn)1/(00nnz).1(的根，)(方程);1(,12/332/332/33gvzgvgvz0nVnzgVN02/33)(1).1(0，);1(,112/332/332/30gvgvvvTTNncc•物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因，它最多是的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为物态方程在连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。•其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在处比热是连续的（因发散），比热的导数不连续。11ln1)1ln(10nVzVNNln1.，)1(1;),(12/532/53ccBvvgvvzgTkPcvv.，)1(23;),(23232/532/53cBcBvvgTvkvvzgTvkPvNU.，)1(25;,ln)(252/532/53ccBvvgvvvzzgvNkS.，)1(415;,)()(49)(4152/532/12/32/53ccBVvvgvvvzgzgzgvNkC2/3~TCVcT)1(2/1g5.2非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：这里我们把势能项看作微扰。设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为其中为单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下，系统能量为：成立条件为k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页。在基态，我们让，而其它所有为零，基态能量为：而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为：下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即并用n代表，能量的动能部分记为，记，配分函数为：其中为理想波色气体的配分函数。是对理想波色气体的统计平均。.)(42ˆ222jijiiimamHrr},,,{pnnpnppppnjijinppnnnnNmVanmpmanmpHE2222222142)(,42ˆ,rr,1,1/3/1kavaNn0pnvmVNmammvaNE,22220.214220222nNmVanmpEppn,1/,1/2vaa}{pnppnnmp22Nn/002)0(2ˆ2222vaNNnvaNHNeZeeTreZn)0(NZ0每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：作近似后可得：这个相变是二级相变。022)0(022)0(02)0(2114)2(ln22mvaNFvaTkNFeNTkNFNFBvaNBvvvmaPvFPNT020222)0(,212111422002),(.112),(,4222)0(22)0(cccccTTvvvvmaPTTvvmvaPP5.3波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。1995年：三个研究组用Rb,Na和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。实验的基本原理有两个：（1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光频率，这里是原子最低激发频率，可使得原子在多次吸收激光后，动量不断减小：原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通过自发辐射退激发（无方向性）。（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）：在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激光频率小于原子无磁场时的跃迁频率()。这样，不论在z0还是z0区域内只能吸收向坐标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的简谐势阱中。ALAAL5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如书98-102页。5.5简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。S-波散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似)：均匀空间情形：理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态，而的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。令为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有)()(0rrUrrU)(rVtrap),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(2),(ˆ),(ˆ)(),(ˆ)(2]ˆ),,(ˆ[),(ˆ022322trtrtrUtrrVmtrtrrrUtrrdrVmHtrttritraptrap0p)ˆ(ˆppaaNaaaaNNaa1ˆˆˆˆ,ˆˆ0000000),,(ˆ),(),(ˆtrtrtr),(ˆ),(trtr),(ˆtr),(),()(2),(20022trtrUNrVmttritrap故这表明在这种近似下我们可以忽略的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。这样场算符可以写为两部分：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：这里，是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面的方程即得（GP方程）：00000ˆˆ1ˆˆaaNaappaaˆ,ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)()(ˆ000rVNaraarrpppppp用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：统计平衡时系统的的平均值有极小值，故有，从上式代入并解之得：)()()()(21)()(2)()()(**0322*3*30000rrrrrUdrrVmrrdrrrdHNHKtrapKˆ0*0K),(),(),()(220022trtrtrUNrVmtrap5.6波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是唯一重要的热力学量。理想波色气体系统：我们考察单粒子密度矩阵：这里表示系综平均，为正则系综统计算符，为单自由粒子场算符（可用平面波展开），分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：另一方面，直接计算可得：因此对这种系统我们有于是kqqkiaaeV,y)qx(k11(y)ˆ(x)ˆ(x,y)(y)ˆkkaa,)ˆ(kqaaTrˆHkqkqeZaapTraapˆ1ˆ0,ˆˆ,ˆkqkqaaqkaap)(,ˆkkqkkkqkqnaaaaˆ,,|ln|22ˆ)2(11(x,y)0/20y)(x3300y)(x0y)(x10zTmkrreTmkVNnekdVNaaeVVNaaeVBrrBkikkkkikkkkik当r=|x-y|→∞时，上式中的积分为零。因此在这个极限下与空间位置无关。物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子。这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志。有相互作用的系统：单粒子动量不是一个好量子数，与哈密顿量不对易，上面的计算不适用。Penrose和Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里称为超流序参量，若则说明存在动量空间的有序，即波色-爱因斯坦凝聚。非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺”。VN01(x,y)0ˆN(y)ˆ(x)ˆ(y)ˆ(x)ˆ(x,y)||1yx)()()(ˆxiexrx0)(xr5.7陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态在5.6节我们把一般的场算符分为了两部分：，并考虑了C数部分Φ(r,t)的贡献，这里我们将考虑涨落算符的贡献。涨落算符的对易关系与常算符的相同，因此有：),(ˆ),(),(ˆtrtrtr),(ˆtr.0)](ˆ),(ˆ[)](ˆ),(ˆ[);()](ˆ),(ˆ[rrrrrrrr哈密顿量为：，其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为：故总粒子数为：而实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）：把的表达式带入，可得：KKNHKˆˆˆˆˆ0...)(ˆ))()((ˆ21)(ˆ)|)(|2ˆ)((ˆˆ);()(ˆ),(ˆ)(ˆˆ);()(|)(|21)()ˆ)((ˆˆ);(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ21)(ˆ)ˆ)((ˆˆ230203303230