高考数学三角函数练习题及答案解析

高考数学三角函数练习题及答案解析（2010上海文数）19.（本题满分12分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)22xxxxx.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．（2010湖南文数）16.（本小题满分12分）已知函数2()sin22sinfxxx（I）求函数()fx的最小正周期。(II)求函数()fx的最大值及()fx取最大值时x的集合。（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=14，及0＜C＜π所以sinC=104.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理acsinAsinC，得c=4由cos2C=2cos2C-1=14，J及0＜C＜π得cosC=±64由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0解得b=6或26所以b=6b=6c=4或c=4（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD．【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos2222ADDCACADDC=10036196121062,ADC=120°,ADB=60°在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°，由正弦定理得sinsinABADADBB,AB=310sin10sin60256sinsin4522ADADBB.（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由ADC与B的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。（2010江西理数）17.（本小题满分12分）已知函数21cotsinsinsin44fxxxmxx。(1)当m=0时，求fx在区间384，上的取值范围；(2)当tan2a时，35fa，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时，22cos1cos2sin2()(1)sinsinsincossin2xxxfxxxxxx1[2sin(2)1]24x，由已知3[,]84x，得22[,1]42x从而得：()fx的值域为12[0,]2（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xfxxmxxx化简得：11()[sin2(1)cos2]22fxxmx当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a，代入上式，m=-2.（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）ABC的面积是30，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，12cos13A。(Ⅰ)求ABAC；(Ⅱ)若1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A得sinA的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积ABAC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc求a的值.解：由12cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，∴156bc.（Ⅰ）12cos15614413ABACbcA.（Ⅱ）2222cosabcbcA212()2(1cos)12156(1)2513cbbcA，∴5a.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，12cos13A，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCA的值.（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足2223()4Sabc。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB的最大值。（2010重庆理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）设函数22cos2cos,32xfxxxR。（I）求fx的值域；（II）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若fB=1，b=1,c=3，求a的值。（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）已知函数2()sin()coscosfxxxx（0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数()yfx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图像，求函数()ygx在区间0,16上的最小值.（2010北京文数）（15）（本小题共13分）已知函数2()2cos2sinfxxx（Ⅰ）求()3f的值；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值解：（Ⅰ）22()2cossin333f=31144（Ⅱ）22()2(2cos1)(1cos)fxxx23cos1,xxR因为cos1,1x,所以，当cos1x时()fx取最大值2；当cos0x时，()fx去最小值-1。（2010北京理数）（15）（本小题共13分）已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx。（Ⅰ）求()3f的值；（Ⅱ）求(x)f的最大值和最小值。解：（I）2239()2cossin4cos1333344f（II）22()2(2cos1)(1cos)4cosfxxxx=23cos4cos1xx=2273(cos)33x,xR因为cosx[1,1]，所以，当cos1x时，()fx取最大值6；当2cos3x时，()fx取最小值73（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；○2由C推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin.（Ⅱ）已知△ABC的面积1,32SABAC，且35cosB，求cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分②由①易得cos(2－α)＝sinα,sin(2－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[2－(α＋β)]＝cos[(2－α)＋(－β)]＝cos(2－α)cos(－β)－sin(2－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S＝12bcsinA＝12ABAC＝bccosA＝3＞0∴A∈(0,2),cosA＝3sinA又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010,cosA＝31010由题意，cosB＝35,得sinB＝45∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010…………………………12分（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）在ABC中，coscosACBABC。（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=-13，求sin4B3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBco