2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

GFEABCDPOQABCD2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()(A)36(B)37(C)55(D)902、已知m＝1＋2，n＝1－2，且(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8，则a的值等于()(A)－5(B)5(C)－9(D)93、Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则()(A)h＜1(B)h＝1(C)1＜h＜2(D)h＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是()(A)2004(B)2005(C)2006(D)20075、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则QCQA的值为()(A)23－1(B)23(C)3＋2(D)3＋2二、填空题6、已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005.若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________.7、如图，面积为ab－c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则a－cb的值等于________.8、正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两分分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a＜1，且满足[a＋130]＋[a＋230]……＋[a＋2930]＝18([x]表示不超过x的最大整数)，则[10a]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码.小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题11、已知x＝ba，a、b为互质的正整数，且a≤8，2－1＜x＜3－1.(1)试写出一个满足条件x；(2)求所有满足条件的x.12、设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：54141622222aabcaacb求a的取值范围.OKECBAP13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过点A做PB的平行线，交⊙O于点C.连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K.求证：PE•AC＝CE•KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.OQPABCD参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C．（2）解：由已知可得m2－2m＝1，n2－2n＝1．又(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8，所以(7＋a)(3－7)＝8，解得a＝－9故选C．（3）解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|＜|a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得AC2＝(c－a)2＋(c2－a2)2，BC2＝(c＋a)2＋(c2－a2)2，AC2＋BC2＝AB2，所以(a2－c2)2＝a2－c2.由于a2＞c2，所以a2－c2＝1，故斜边AB上高h＝a2－c2＝1故选B．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°＝34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34＝k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33)×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．（5）解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r＋m，QA＝r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC＝QP·QD即(r－m)(r＋m)＝m·QD，所以QD＝r2－m2m．连结DO，由勾股定理，得QD2＝DO2＋QO2，即(r2－m2m)2＝r2＋m2，解得m＝33r所以，QCQA＝r＋mr－m＝3＋13－1＝3＋2故选D．（第7题图）ABCDGFE（6）解：由a＋b＝2006，c－a＝2005，得a＋b＋c＝a＋4011．因为a＋b＝2006，a＜b，a为整数，所以a的最大值为1002．于是，a＋b＋c的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m2＝43，由△ADG∽△ABC，可得xm＝32m－x32m，解得x＝(23－3)m于是：x2＝(23－3)m2＝283－48，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，，所以a－cb＝－203．（8）解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×400x50＝368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)＞400，所以，12.5≤x＜13.5．故x＝13，此时t＝400×1350＝104．（9）解：因为0＜a＋130＜a＋230＜……＜a＋2930＜2，所以[a＋130]，[a＋230]，…，[a＋2930]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以[a＋130]＋[a＋230]……＋[a＋1130]＝0，[a＋1230]＋[a＋1330]……＋[a＋2930]＝1，所以0＜a＋1130＜1，1≤a＋1230＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜193，所以[10a]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为2a8bcdef．根据题意，有81×abcdef＝2a8bcdef．记x＝b×104＋c×103＋d×102＋e×10＋f，于是81×a×105＋81x＝208×105＋a×106＋x解得x＝1250×(208－71a)．因为0≤x＜105，所以0≤1250×(208－71a)＜105，故12871＜a≤20871．因为a为整数，所以a＝2．于是x＝1250×(208－71×2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)×1＜b＜(3－1)×1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)×2＜b＜(3－1)×2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)×3＜b＜(3－1)×3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)×4＜b＜(3－1)×4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)×5＜b＜(3－1)×5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)×6＜b＜(3－1)×6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)×7＜b＜(3－1)×7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)×8＜b＜(3－1)×8，故b＝5，此时x＝58.所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2×②得(b－c)2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2(a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5)2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．OKECBAP（13）证明：因为AC∥PB，所以∠KPE＝∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP＝∠ACE，故∠KPE＝∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以KPKA＝KEKP，即KP2＝KE·KA．由切割线定理得KB2＝KE·KA所以KP＝KB．因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是PECE＝KPAC故PECE＝KBAC，即PE·AC＝CE·KB（14）解：设10个学生为S1，S2，…，S10，n个课外小组G1，G2，…，Gn．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S1恰好参加G1，G2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组G1，G2，…，Gn的人数之和不小于3×10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组G1，G2，…，Gn的人数不超过5n，故5n≥30，所以n≥6．下面构造一个例子说明n＝6是可以的．G1＝｛S1，S2，S3，S4，S5｝，G2＝｛S1，S2，S6，S7，S8｝，G3＝｛S1，S3，S6，S9，S10｝，G4＝｛S2，S4，S7，S9，S10｝，G5＝｛S3，S5，S7，S8，S9｝，G6＝｛S4，S5，S6，S8，S10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n的最小值为6．