平面任意力系

1内容回顾：汇交力系力偶系?22.3平面任意力系工程实例：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，并呈任意分布的力系.31力的平移2平面任意力系向一点简化3平面任意力系的平衡条件4刚体系的平衡5静定与静不定问题的概念2.3平面任意力系4观察图中书本的受力和运动情况。思考？5可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。FF1力的平移ABFFAM6[证]MMF′=F˝=F7①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶说明：ABFBFAM②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d③力线平移定理是力系简化的理论基础。8二、力的平移性质1．当作用在刚体上的一个力沿其作用线滑动到任意点时，因附加力偶的力偶臂为零，故附加力偶矩为零。2．当力的作用线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般会随指定点O的位置的不同而不同。3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。9力的平移定理揭示了力对刚体产生移动和转动两种运动效应的实质。10力的平移定理在机械中的应用11如果一个刚体上承受的力多于三个，并且不是一个汇交力系，在这种情况下如何解决刚体的平衡问题？如何研究这些力之间的关系？再复杂些，比如还有力偶等，又该如何处理？12简化中心2平面任意力系向一点简化332211FFFFFF)()()(332211FMMFMMFMMOOO平移合成M1MM13一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系汇交力系力，R´(主矢)，(作用在简化中心)力偶系力偶，MO(主矩)，(作用在该平面上)简化中心M1MM14321FFFOM主矩简化中心M1MM321FFFiF)()(21FMFMOO)F(MiO'R主矢321MMM15主矢的解析式：RRRiRx),cos(方向：大小：22yxRRR与简化中心位置无关[因主矢等于各力的矢量和]（移动效应）iFR'主矢)(iOOFMM主矩（转动效应）yxRRRjYiX)()(22)()(YX16大小：主矩MO方向：方向规定+—与简化中心有关[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和])(iOOFMM合成M1MM简化中心平移17P固定端约束PFAFAxFAy18固定端约束19FyFxM202122①=0，MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。R简化结果：主矢，主矩MO，下面分别讨论：R简化结果分析简化中心简化23②=0,MO≠0即简化结果为一合力偶,M=MO此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。R简化中心M=MO简化R´=024③≠0,MO=0,即原力系简化为一个作用于简化中心的合力。这时，主矢就是原力系的合力。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）RRR简化中心简化MO=0R=R´Oxy25平面任意力系的简化结果：①合力偶MO；②合力R④≠0,MO≠0,为最一般的情况。R此种情况还可以继续简化为一个合力。R合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置RMdORRR´≠0,MO≠0结论：R'RO'dR=R''=R'RMdO26•机床床鞍的导轨运动在卧式车床中，传动丝杠曳引床鞍的作用力Ｆ27因此，在某些大型车床或高精度的螺纹车床中，往往把传动丝杠安排在两个导轨的中间，以达到消除或减小附加力偶的目的。28已知F1=2kN，F2=4kN，F3=10kN，正方形的边长为a（cm），求力系的最终简化结果。[例1]34F1F2F3OyxXRx解：22'''yxRRRXYRRxy11tantan=45°R’αYRy22)Y()X(kN24kN)(453102kN)(44541029)(iOOFMM=4a(kN·cm)x4F1F2F33OyMOR’RdaRMdo22最终简化结果为一个合力R，作用线距离O点为daFaFaFyx331aaa54105310230例2已知：1450kN,P2200kN,P1300kN,F270kN;F求：合力作用线方程力系向O点的简化结果合力与OA的交点到点O的距离x，31解：（1）主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF22'()()709.4kNRxyFFFcos(',)0.3283,cos(',)0.9446''yxRRRRFFFiFjFF(',)70.84,(',)18019.16RRFiFj主矩：112()31.53.92355kNmOOMMFFPP32（2）求合力及其作用线位置.'23553.3197709.4ORMdFm003.514cos9070.84dxm33（3）求合力作用线方程2355670.1232.9xy607.1232.923550xy已知:在刚体上的同一平面内作用有大小均为F的六个力（如图），则该力系可简化为一合力，其大小为（），作用线依次通过（、）两点。[例3]HEDCBAGF2DBHEDBAGCHEDBAGCR’MAFYRXRyx2'0'FaFMMiAA2)(向A点简化：3522)()('YXR)(iOOFMM3平面任意力系的平衡条件0X0Y0)(iOFM平面任意力系的平衡方程00平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢和主矩MO都等于零。'R36已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？,032aNaPB0AX,0PNYBA解：①选AB梁研究[例4],0)(FMA0Y，0X，AB②画受力图32PNB3PYA③列平衡方程AB37,0)(FMA,0Y0PRYqaBA)kN(12BR)kN(24AY已知：P=20kN,M=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m求：A、B的支反力。解：[AB梁]解得：[例5],0X0AXM2aaqMMaRB02aP0AX38AP2=2kNBD4mM=10kNmP1=2kN3m4m4mECFAyFAxFB,0X0AxFq=1kN/mkN7kN50AyBAxFFF解：[例6]0151248421PFMqPB0821PFqPFBAy,0AM,0Y390X0)(iAFM0)(iBFM二矩式条件：x轴不AB连线BxRA平面任意力系平衡方程的其他形式400)(iAFM0)(iBFM0)(iCFM三矩式条件：A,B,C不在同一直线上BRAC41[例7]已知：AB=BC=a，载荷P，求BD杆所受力和A点反力。PADCB45°aa42解：受力分析[AC杆]PACB45°FAyFAxFBDPADCB45°aa4302)45cos(aPaFBD045sinPFFBDAy045cosBDAxFF0)(iAFM，，0Y0X，PFBD22PFAy；；PFAx2PACB45°FAyFAxFBD4402)45cos(aPaFBD0PaaFAy045cosBDAxFF,0)(FMA,0)(FMB,22PFBD,PFAyPFAx2,0X解得：PACBFAyFAx45°FBD二矩式：4502)45cos(aPaFBD0PaaFAy02aPaFAx,0)(FMA,0)(FMB,22PFBD,PFAyPFAx2解得：PACBFAyFAx45°FBD,0)(FMDD三矩式：46[例9]求A处支座反力。qP=qaAm=qa2aa3a解：[整体]47,0X0)3(21aqFAx22323qaMqayFqaFAAAxqP=qaAm=qa2aa3aFAxMAFAy解：[整体]0PyFA0)3(21mPaaaqMAqa23,0Y,0AM48一、平面一般力系的平衡方程物体在平面一般力系作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：各力在任意两个相互垂直的坐标轴上的分量的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意点的力矩的代数和也等于零。总结平面一般力系的平衡和应用49平面一般力系的平衡和应用形式基本形式二力矩式三力矩式方程说明两个方程投影式方程，一个力矩式方程一个投影式方程，两个力矩式方程使用条件：AB连线与x轴不垂直三个力矩式方程使用条件：A、B、C三点不共线0)(000iiyxiFMFF0)(0)(0iBiAixFMFMF0)(0)(0)(iCiBiAFMFMFM50解题前须知：求解平面一般力系平衡问题的主要步骤及注意点：（１）确定研究对象，画出受力图（２）选取坐标系和矩心，列平衡方程。一般地说，矩心应选在两个未知力的交点上，坐标轴应尽量与较多未知力的作用线垂直。三个平衡方程的列出次序可以任意，最好能使一个方程只包含一个未知量，这样可以使平衡方程中出现未知量较少，便于计算。（３）求解未知量，讨论结果。选择一个不独立的平衡方程对计算结果进行验算。平面一般力系的平衡和应用51【补充例题】悬臂梁如图所示，梁上作用有均布载荷，载荷集度为q，在梁的自由端受集中力F和力偶矩为M的力偶作用，梁的长度为L。试求固定端A处的约束反力。解题过程平面一般力系的平衡和应用52二、平面平行力系的平衡方程平面平行力系——力系中的各力作用线在同一平面内且相互平行。平衡条件——各力在坐标轴上投影的代数和为零，且力系中各力对平面内任意点的力矩的代数和也等于零。53平面一般力系的平衡和应用0)(00iYiFmF形式基本形式二力矩式方程使用条件：A、B连线不能与各力作用线平行0)(0)(iBiAFmFm54【例】铣床夹具上的压板AB，当拧紧螺母后，螺母对压板的压力F=4000N，已知l1=50mm，l2=75mm，试求压板对工件的压紧力及垫块所受的压力。解题过程平面一般力系的平衡和应用55设有F1,F2…Fn各平行力系，平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。平面平行力系的平衡方程0X0)(0ioFMY∴平面平行力系的平衡方程560)(iAFM0)(iBFM二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线AB57已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？[例]580)212(2)26(WPQkN75minQ解：㈠①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：由0)(FMA02)26(PQ0AN临界状态：解得0)(FMB由②空载时，W=0临界状态：0BN解得kN350maxQ因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：kN350kN75Q5904)212(2)26(BNWPQ0)(FMA,0Y0BANNWPQ㈡求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：kN870,kN210BANN解得：60P12l1l2ab61我们学过：平面汇交力系两个独立方程，只能求两个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。0X0Y0iM0X0Y0)(iOFM力偶系平面任意力系未知量数目等于独立方程数目时，是静定问题未知