平面汇交力系解析法

从图中所示的平面汇交力系各力多边形中，判断哪个力系是平衡的？哪个力系有合力？哪个力是合力？课前提问F1F2F2F3F1F3F1F2F4F3F4F1F3F2(a)(b)(c)(d)F4F3F2F1F3F2F1F4(f)(e)一、力在坐标轴上的投影二、合力投影定理三、平面汇交力系合成的解析法四、平面汇交力系平衡的解析条件第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法解析法—定量计算合力的大小和方向的方法一、力在直角坐标轴上的投影分力大小：FX=FcosαFY=Fsinαα、β为力与x轴和y轴所夹的锐角，α为F与x轴所夹的锐角投影：X=FcosαY=-Fsinα讨论：α=00α=900时，X、Y的大小xabFαxya2b2a1b1若已知力F在x、y轴上的投影X、Y，那么力的大小及方向就可以求得FxFyyxFO讨论：力的投影与分量可见，力F在垂直坐标轴x、y上的投影分量与沿轴分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的轴x、y'上的投影分量与沿轴分解的分力大小是不相等的。FxyOxFyOYXYXYX二、合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上之投影的代数和。表示合力R与x轴所夹的锐角，合力的指向由∑X、∑Y的符号判定。ac-bc=ab由合力投影定理有：Rx=X1+X2+…+Xn=XRy=Y1+Y2+…+Yn=Y合力的投影abcRF1xF2RxxyRyR2222YXRRRyxXYRRxytan合力：合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：合力的大小：方向：作用点：xyRRtgXYRRxy11tgtg∴为该力系的汇交点三、平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件00YRXRyx平衡方程2222xyRRRXY1F2F3F4F【例】已知：=200N，=300N，=100N，=250N，求图所示平面汇交力系的合力。【解】412341cos30cos60cos45cos45129.3NixiFFFFF412341cos60cos30cos45cos45112.3NiyiFFFFF2222R()()xyixiyFFFFF22129.3112.3N171.3NRRR129.3cos,0.7548171.3ixxFFFFFiRRR112.3cos,0.6556171.3yiyFFFFFj•例如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。取如图所示的直角坐标系Oxy则合力的投影分别为解析法kNFFRkNFFFRyx65.1660sin30sin16.4160cos30cos31321则合力R的大小为kNRRRyx40.4465.1616.412222合力R的方向为79.2116.4165.16arctanarctan16.4165.16tanxyxyRRRR例图示三角支架，求两杆所受的力。解：取B节点为研究对象，画受力图NBCPNBA由∑Y=0，建立平衡方程：0sin300BCNP由∑X=0，建立平衡方程：解得：260BCNPKN负号表示假设的指向与真实指向相反。0cos300BCBANN解得：3(60)0.866522BABCNNKN解：1.取滑轮B的轴销作为研究对象，画出其受力图。例图(a)所示体系，物块重P=20kN，不计滑轮的自重和半径，试求杆AB和BC所受的力。2、列出平衡方程：解得：反力NBA为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。由∑Y=0，建立平衡方程：解得：由∑X=0，建立平衡方程：例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。在B点作用一水平力P,设P=20kN。求支座A和D的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447X=0P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：TBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150ABCDEx300150150TBDTBCGTBD=GY=0X=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150ABCDE解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN24.4tg45cos45sin00PSCDkN16.3cos45cos0CDASR；[例]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力N=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为PP-TND3Q60sin2Qsin-Q02由②得060212cos21PPTT由①得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT①②[例]图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。解：1、研究对象：整体或铰链AABSACSPAABSACS60°2、几何法：PABSACS60°SAC=P/sin600SAB=P×ctg6003、解析法：PAABSACS60°Rx=∑X=0SACcos600－SAB=0Ry=∑Y=0SACsin600－P=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600=P×ctg600xyGO重G=100KN的球放在与水平面成30°的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳子AB系住，如图所示，试求AB绳的拉力以及球对斜面的压力。OAB30°C解：1.以球为研究对象，画受力图2.选择坐标轴列平衡方程ACTN∑FX=0T－Gsin30°=0∑FY=0N－Gcos30°=0XY解得：T=50KNN=86.6KN球对斜面的压力与N方向相反30°运用平衡条件求解未知力的步骤为：1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；2、由平衡条件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。解题步骤：1、选择研究对象；选已知量和未知量共存的物体为研究对象。2、画研究对象受力图；3、选择坐标轴；坐标轴尽量与力垂直或平行。4、列平衡方程；5、求解未知量。1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。例一物体重为30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于如图a所示的平衡位置，设柔索的重量不计，AB与铅垂线的夹角30BC水平。求柔索AB和BC的拉力。解：受力分析：取重物为研究对象，画受力图如图b所示。根据约束特点，绳索必受拉力。用解析法求解建立直角坐标系Oxy，如图b所示根据平衡方程建立方程求解kNTTTFkNTWTFBCBABCxBABAy32.17,030sin,064.34,030cos,0例简易起重机如图所示。B、C为铰链支座。钢丝绳的一端缠绕在卷扬机D上，另一端绕过滑轮A将重为W=20kN的重物匀速吊起。杆件AB、AC及钢丝绳的自重不计，各处的摩擦不计。试求杆件AB、AC所受的例。用解析法求解取坐标轴Axy如图b所示，利用平衡方程，得030cos60cos,021TTRFACx由于T1=T2=W=20kN，代入上式即得RAC=kN32.27RAC为负值，说明AC杆受压力。060sin30sin,012TTRFABy解得RAB=7.321kN例：图示机构中，已知曲柄AB=100mm，连杆BC=300mm,活塞直径d=100mm.设气缸内的压力试求在图示位置时连杆推动曲柄的力，以及活塞对气缸壁的压力，连杆重量和摩檫均不计。aMPP40XF0sinSRABCCSXYPR解：以活塞为研究对象画受力图列平衡方程：0YF0cosSPABCCSXYPR9487.030010030022ACBCCOS316.0300100100sin22ACAB由几何关系得9487.030010030022ACBCCOSKNCOSdPCOSPS1.33947.0410014.34422KNSR5.10sin由作用与反作用公理知活塞对气缸的压力、连杆推曲柄的力方向分别与R、S的方向相反[例]图示为四连杆机构ABCD，在铰链B和C上作用有力F1和F2，机构在图示位置处于平衡。求二里大小和F1和F2之间的关系。解：分别以B、C为研究对象画受力图BDCAB1F1F2F303060ABSCBS30C3060YX对B点例平衡方程0XF030cos1CBSF0XF对C点例平衡方程30cos1FSCB030cos2FSCB1123430cos130cos30cosFFSFCBCBS2FCDFXY22yxFFF一、力在坐标轴上的投影Fx=F·cosFy=F·sinaa’bab’xFFtgy