圆锥曲线焦点三角形推导

1椭圆焦点三角形1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,FF构成的三角形12PFF称之为椭圆焦点三角形．（2）面积公式推导解：在12PFF中，设12FPF，11PFr，22PFr，由余弦定理得222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcrr22121212()242rrrrcrr221212(2)242arrcrr2212124()22acrrrr212122brrrr∴21212cos2rrbrr即21221cosbrr，∴12212112sinsin221cosPFFbSrr2sin1cosb=2tan2b．例1．焦点为12,FF的椭圆2214924xy上有一点M，若120MFMF，求12MFF的面积．解：∵120MFMF，∴12MFMF，∴12MFFS290tan24tan2422b．例2．在椭圆的22221(0)xyabab中，12,FF是它的两个焦点，B是短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证：1212FBFFMF．证明：如图2，设M的纵坐标为0y，图1F1xyOPF22∵2121021212121MFFFBFSyFFbFFS，∴221212tantan22FBFFMFbb，即1212tantan22FBFFMF，又121211,22FBFFMF都是锐角，故12121122FBFFMF从而有1212FBFFMF．2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．（1）定义：如图3，双曲线上一点P与双曲线的两个焦点12,FF构成的三角形12PFF称之为双曲线焦点三角形．（2）面积公式推导：解：在12PFF中，设12FPF，11PFr，22PFr，由余弦定理得222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcrr22121212()242rrrrcrr221212(2)242arrcrr2212122()rrcarr212122rrbrr∴21212cos2rrrrb即21221cosbrr，∴12212112sinsin221cosPFFbSrr2sin1cosb=2cot2b．例3、已知双曲线22169144xy，设12,FF是双曲线得两个焦点．点P在双曲线上，1232PFPF，求12FPF的大小．解：双曲线的标准方程为221916xy，图2F1xyOMF2B图3F1xyOPF23∴121212121211sin32sin16sin22PFFSPFPFFPFFPFFPF，从而有1216sinFPF1216cot2FPF=121216sin1cosFPFFPF，∴12cos0FPF，∴1290FPF．例4：椭圆22162xy与双曲线2213xy的公共焦点为12,FF，P是两曲线的一个交点，求21cosPFF的值．解：在椭圆和双曲线中异算12PFF面积∵122tan1cot22PFFS，∴21tan22，∴2211tan1122cos131tan122．开拓：从上例我们不难发现，若椭圆221122111(0)xyabab和双曲线222222221(0,0)xyabab有公共的焦点12,FF和公共点P，那么12PFF的面积2121tan2FPFSb，又2122cot2FPFSb，从而22212Sbb，即12Sbb．