高考数学一轮单元复习：第49讲 直线与圆锥曲线

│直线与圆锥曲线│知识梳理知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元一次方程组解的情况讨论.(1)若方程组消元得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论.将直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到关于x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0时，直线与圆锥曲线相交(有1个交点)；②若a≠0时，Δ＞0，直线与圆锥曲线；Δ＝0，直线与圆锥曲线；Δ＜0，直线与圆锥曲线.相交相切相离│知识梳理(2)直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合)于其对称轴的直线，双曲线与平行于渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是相交.(3)直线与圆锥曲线的位置关系讨论，还可以利用数形结合的方法来解决.2.弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2(k≠0)(利用这个公式求弦长时，应注意应用根与系数的关系).3.过定点问题若曲线：f(x，y)＝0，与曲线：g(x，y)＝0有公共点M，则曲线系C：│知识梳理λf(x，y)＋μg(x，y)＝0，(λ∈R，μ∈R)恒过定点M.4.求距离给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质.5.求圆锥曲线的有关最值问题(1)代数法借助代数函数求最值的方法，运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法.常用的方法有：①配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个区间上的最值联系紧密，这时可对二次│知识梳理函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值；②基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值；③三角法：当曲线是圆或椭圆时，利用三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题.(2)几何法①利用圆锥曲线的定义结合对称的有关结论，求到两定点的距离的和差的最值；②利用平面几何中的有关结论求其最值.│要点探究要点探究►探究点1直线与圆锥曲线相切问题例1[2008·陕西卷]已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.NANB│要点探究【思路】解法一：(1)设出抛物线C在点N处的切线方程和抛物线方程联立组成方程组，用判别式等于零证得斜率和k相等；(2)由＝0和M是线段AB的中点，得|MN|＝|AB|，分别求出|MN|，|]AB|代入求k.解法二：(1)用k表示出点N坐标，求y＝2x2的导数，证明在这一点的导数为k即可；(2)用向量的坐标运算代入韦达定理，求得k的值.NANB12│要点探究【解答】解法一：(1)证明：如图48－1，设A(x1，2)，B(x2，2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0，由韦达定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，∴xN＝xM＝x1＋x22＝k4，∴N点的坐标为(k4，k28).设抛物线在点N处的切线l的方程为y－k28＝m(x－k4)，21x22x│要点探究将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋mk4－k28＝0，∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k.即l∥AB.(2)假设存在实数k，使＝0，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.∵MN⊥x轴，NANB│要点探究∴|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.又|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x1＝1＋k2·＝12k2＋1·k2＋16.∴k2＋168＝14k2＋1·k2＋16，解得k＝±2.即存在k＝±2，使＝0.NANB24(1)2k│要点探究解法二：(1)如图48－1，设A(x1，2)，B(x2，2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0.由韦达定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1.∴xN＝xM＝x1＋x22＝k4，∴N点的坐标为(k4，k28)，∵y＝2x2，∴y′＝4x，∴抛物线在点N处的切线l的斜率为4×k4＝k，∴l∥AB.(2)假设存在实数k，使＝0.由(1)知＝(x1－k4，2－k28)，＝(x2－k4，2－k28)，则21x22xNANBNBNA21x22x│要点探究NANB22221212224488kkkkxxxx222212124441616kkkkxxxx1212144444kkkkxxxx2212121212144164kkkxxxxxxkxx221141421624kkkkkk│要点探究∵－1－k2160，∴－3＋34k2＝0，解得k＝±2.即存在k＝±2，使＝0.223130164kkNANB│要点探究【点评】(1)联立直线与抛物线转化为一元二次方程，利用判别式等于零求解直线与抛物线的相切问题；(2)关于向量的数量积等于零的应用，一是直接用向量的坐标运算得等量关系，二是利用几何意义转化为垂直关系后再作它用.│要点探究►探究点2圆锥曲线的弦长问题例2[2008·辽宁卷]在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点.k为何值时⊥？此时的值是多少？【思路】(1)由椭圆的定义求出椭圆的标准方程；(2)直线和椭圆方程联立成方程组，由⊥，得x1x2＋y1y2＝0，根与系数的关系代入求k，用弦长公式求OAOBABOAOBAB│要点探究【解答】(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b＝22－(3)2＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2＋y24＝1y＝kx＋1消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.│要点探究⊥，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝－4k2＋1k2＋4.所以k＝±12时，x1x2＋y1y2＝0，故⊥.当k＝±12时，x1＋x2＝417，x1x2＝－1217.＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2，OAOBABOAOB│要点探究而(x2－x1)2＝(x2+x1)2－4x1x2＝42172＋4×1217＝43×13172，所以＝46517.AB【点评】(1)根据题目所给条件对点的轨迹进行定性，可大大降低运算量.这类题目一般需要三部曲，即：定性、定型和定量来完成.(2)已知条件中经常遇到垂直问题，常常转化为向量垂直，用向量的数量积为零，即x1x2＋y1y2＝0求解.圆锥曲线的弦长问题可以考查正向求解弦长的问题，也可以考查逆向应用，如下面变式题：│要点探究│要点探究变式题已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到直线x＝a2c(c为椭圆C1的半焦距)的距离成等比数列.(1)当C2的准线与直线x＝a2c(c为椭圆C1的半焦距)间的距离为15时，求C1及C2的方程；(2)设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点.当|PQ|＝367时，求|MN|的值.│要点探究【解析】(1)设C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其半焦距为c(c0).则C2：y2＝4cx.由条件知(2b)2＝2a(a2c－c)，得a＝2c.又∵x＝a2c，∴x＝4c.C2的准线方程为x＝－c.由条件知5c＝15，所以c＝3，故a＝6，b＝33.从而C1：x236＋y227＝1，C2：y2＝12x.(2)由题设知l：y＝x－c，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).由(1)知C1：x24c2＋y23c2＝1，即3x2＋4y2＝12c2.│要点探究由3x2＋4y2＝12c2y＝x－c知x3，x4满足7x2－8cx－8c2＝0，从而|PQ|＝(x3－x4)2＋(y3－y4)2＝2|x3－x4|＝247c.由条件|PQ|＝367，得c＝32，故C2：y2＝6x.由y2＝6y＝x－32得x2－9x＋94＝0，所以x1＋x2＝9.于是|MN|＝|MF|＋|FN|＝x1＋x2＋2c＝12.│要点探究►探究点3直线与圆锥曲线中的最值问题例3[2009·广东卷]已知曲线C：y＝x2与直线l：x－y＋2＝0交于两点A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xAxB记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s，t)是L上的任一点，且P点与点A和点B均不重合.(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；(2)若曲线G：x2－2ax＋y2－4y＋a2＋5125＝0与D有公共点，试求a的最小值.│要点探究【解答】(1)联立y＝x2与y＝x＋2得xA＝－1，xB＝2，则AB中点Q(12，52)，设线段PQ的中点M坐标为(x，y)，则x＝12＋s2，y＝52＋t2，即s＝2x－12，t＝2y－52，【思路】(1)利用相关点代入法求轨迹方程；(2)由于圆心在直线y＝2上运动，由此入手得到对a进行讨论.│要点探究又点P在曲线C上，∴2y－52＝(2x－12)2，化简可得y＝2x2－x＋118，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则－12x－122，即－14x54，∴中点M的轨迹方程为y＝2x2－x＋118(－14x54).│要点探究(2)曲线G化为(x－a)2＋(y－2)2＝4925，其轨迹为以(a，2)为圆心，75为半径的圆，要使其与D有公共点且a最小，只需圆心(a，2)在直线AB的左上侧且与直线AB相切即可，所以有75＝|a－2＋2|2＝|a|2，又a0，所以a＝－752.【点评】本题考查了轨迹方程的基本求法—相关点代入法，求轨迹方程时注意去除不满足题意的点；题目对变量的考查是在相对纵坐标为定值的基础上进行横坐标最值的求解，增加了题目的灵活性的同时降低了题目难度，也对分类讨论和数形结合的思想的考查也起到良好的效果.圆锥曲线中的最值问题还可以与导数，函数、不等式等知识点融合考查，如下面变式题：│要点探究│要点探究变式题[2009·浙江卷]已知椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的右顶点为A(1，0)，过椭圆C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.│要点探究【思路】①利用待定系数法易求；②写出两个中点的坐标，借助于横坐标相等，建立变量间的等量关系，再利用直线MN与抛物线有两个交点建立不等关系进行转化.【解析】(1)由题意得b＝1∴a＝22·b2a＝1b＝1所求的椭圆方程为y24＋x2＝1，(2)不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)则抛物线C2在点P处的切线斜率为