北京市海淀区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题(WORD版)

海淀区高一年级第一学期期末考试数学2017.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合1,2,3,4,5,6U，{1,5}M，{24},P，则下列结论正确的是()A．1()UMPðB．2()UMPðC．3()UMPðD．6()UMPð2．下列函数在区间(,0)上是增函数的是()A.2()4fxxxB.()31gxxC.()3xhxD.()tantxx3.已知向量(1,3),(3,),tab若ab,则实数t的值为()A.9B.1C.1D.94.下列函数中，对于任意的xR，满足条件()()0fxfx的函数是()A.13()fxxB.si()n1fxxC.2()fxxD.22()log(1)fxx5.代数式ππππsin()cos()2326的值为()A.1B.0C.1D.326.在边长为1的正方形ABCD中，向量11,23DEDCBFBC，则向量,AEAF的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.5π2１7.如果函数()3sin(2)fxx的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2)，那么函数()fx的一条对称轴是()A.π6xB.π12xC.π6xD.π3x8.已知函数22()xxMfxxxP，，，，其中MPR，则下列结论中一定正确的是()A.函数()fx一定存在最大值B.函数()fx一定存在最小值C.函数()fx一定不存在最大值D.函数()fx一定不存在最小值二.填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9．函数()24xfx的定义域为_____________.10.已知0.540.540.5,log4，abc，则,,abc从小到大的排列为_____________.11.已知角终边上有一点(,1)Px,且21cos,则_________ta_n___.12.已知ABC中，点(20),(2,0)AB，,(,1)Cx.(i)若ACB是直角，则_____________x；(ii)若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是_____________.13.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬.鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v可以表示为耗氧量x的函数2log10xva.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/vms，则两岁燕子飞行速度为25/ms时，耗氧量达到_____________单位.14.已知函数()|1|(1)fxaxax.(i)当１２a时，满足不等式()1fx的x的取值范围为_____________；(ii)若函数()fx的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为_____________.三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知函数2()fxxbxc，其对称轴为y轴(其中,bc为常数).(Ⅰ)求实数b的值；(Ⅱ)记函数()()2gxfx，若函数()gx有两个不同的零点，求实数c的取值范围；(Ⅲ)求证：不等式2(1)()fcfc对任意cR成立.16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()fxAx图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA).(Ⅰ)请写出函数)(xf的最小正周期和解析式；(Ⅱ)求函数)(xf的单调递增区间；(Ⅲ)求函数)(xf在区间π[0,]2上的取值范围.xπ6π12π37π125π6()fx0202017．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A，3(,0)2B，锐角的终边与单位圆O交于点P.(Ⅰ)用角的三角函数表示点P的坐标；(Ⅱ)当14APBP时，求的值；(Ⅲ)在x轴上是否存在定点M，使得1||||2APMP恒成立?若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()fx的定义域为R，若存在常数0T，使得()()fxTfxT对任意的xR成立，则称函数()fx是函数.（Ⅰ）判断函数()fxx，()sinπgxx是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()fx是函数，且()fx是偶函数，则()fx是周期函数；（ⅱ）若函数()fx是函数，且()fx是奇函数，则()fx是周期函数；(Ⅲ)求证：当1a时，函数()xfxa一定是函数.BAOyxP选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V，对于Va,b，ab，定义(){|}VVa,bmma=mb.(Ⅰ)请你任意写出两个平面向量a,b，并写出集合()Va,b中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()Va,b中元素的关系，并试着给出证明；(Ⅲ)若()()VVa,ba,c，其中bc，求证：一定存在实数12,，121+，使得12+a=bc.海淀区高一年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准2017.1一.选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题号12345678答案CBDACBBC二.填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.[2,)10.cba11.312.3，(2,3)(3,2)13.32014.1(2,),[,1)2说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分三.解答题:本大题共4小题,共44分.15.（本小题满分12分）解:（I）因为()fx的对称轴为y轴，所以()()fxfx对任意的xR成立，即22xbxcxbxc对任意的xR成立，整理有20bx对任意的xR成立，所以0b.………………………4分法二：因为()fx的对称轴为y轴，而()fx的对称轴为2bx，所以有02b，所以0b.………………………4分（II）依题意2()2gxxc有两个不同的零点，即关于x的方程220xc有两个不相等的实数根，所以0,即20c，2c为所求.………………………8分(Ⅲ)因为2222(1)()[(1)]()fcfccccc4222131()024ccc恒成立，所以2(1)()fcfc对cR恒成立.………………………12分法二：因为()fx的对称轴为y轴,其开口向上且22131||(||)024ccc，即21c到对称轴的距离大于||c到对称轴的距离，根据二次函数的性质，所以2(1)()fcfc对cR恒成立.………………………12分16．（本小题满分12分）解:（I）5ππ()π66T,………………………2分即2ππT,所以2.又2A,()2sin(2)fxx,将π(,2)12代入()fx,有π2sin()26，即πsin()16.因为||π,所以π57(π,π)666，因此ππ62，即π3.故π()2sin(2)3fxx.………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程.（II）因为函数sinyx的单调区间为ππ2π2π22kxk，所以令πππ2π22π232kxk，即5ππ2π22π66kxk，解得5ππππ1212kxk，所以()fx的增区间为5ππ(ππ),()1212kkkZ，.………………………8分(Ⅲ)因为π[0,]2x，所以有ππ4π2[,]333x，所以当π12x时，函数()fx取得最大值2，当π2x时，函数()fx取得最小值3，所以函数()fx在π[0,]2上的取值范围为[3,2]………………………12分17.（本小题满分10分）解:（I）(cos,sin)P.………………………2分（II）13(cos,sin)(cos,sin)22APBP，213(cos)(cos)sin22APBP，223coscossin41cos4因为14APBP，所以11cos44，即1cos2，因为为锐角，所以π3.………………………6分(Ⅲ)法一：设(,0)Mm，则222115||(cos)sin1coscos244AP，2222||(cos)sin12cosMPmmm，因为1||||2APAP，所以251cos(12cos)44mm，所以2(1)cos(1)024mm对任意π(0,)2成立，所以2102104mm，所以2m.M点的横坐标为2.………………………10分法二：设(,0)Mm，则222115||(cos)sin1coscos244AP，2222||(cos)sin12cosMPmmm，因为1||||2APAP，所以251cos(12cos)44mm，即22cos4cos40mm，(2)[(2)2cos]0mm，因为可以为任意的锐角，(2)2cos0m不能总成立，所以20m，即2m，M点的横坐标为2.………………………10分18．（本小题满分10分）解:（I）函数()fx不是Ω函数，函数()gx是Ω函数.………………………2分（II）(i)因为()fx是Ω函数，所以()()fxTfxT，所以()()fxTfxT，又因为()fx是偶函数，所以()()fxfx，所以()()TfxTTfxT，即()()fxTfxT，所以()()fxTfxT，所以()(2)fxfxT，所以()fx是以2T为周期的周期函数.………………………6分(ii)因为()fx是Ω函数，所以()()fxTfxT，所以()()fxTfxT，又因为()fx是奇函数，()()fxfx所以()()fxTfxT，即()()fxTfxT，所以()()TfxTTfxT，所以()()fxTfxT，所以()(2)fxfxT，所以()fx是以2T为周期的周期函数.………………………6分(Ⅲ)法一：设()1xgxxa，所以(0)1g，(1)10ga所以至少存在一个(0,1)T，满足()0gT，即1TTa，所以()()xTxTTfxTTaTaafx，所以函数()fx是Ω函数.………………………10分法二：设1()xgxax，因为1a，所以(1)10ga，11()0agaaa，所以至少存在一个1(,1)Ta，满足()0gT，即1TaT，所以()()xTxTTfxTTaTaafx，所以函数()fx是Ω函数.………………………10分选作题：（I）例如(1,0),(0,1),aa则(,)abV中的三个元素可以为(1,1),x(1,1),y(2,2)z.……………3分（II）猜想：(,)abV中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),aaabbb因为ab，所以1122abab，中至少有一个不为0，若220ab，记1122(1)abeab，,显然()0eab，即eaeb，所以e(,)abV.任取(,)vxy(,)abV，因为vavb，所以()0vab，所以1122()()0xabyab，则有1122abyxab，所以(,)vxyxe，所以(,){|,}abvveVR，问题得证；若220ab，110ab时