2017中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合

-1-2017中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合纵观近5年中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C点坐标及反比例函数的解析式．【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可．(2)将C点的横坐标代入公式y＝kx＋b即可求出纵坐标，再代入y＝mx中即可．【学生解答】解：(1)由题意得k＋b＝0，b＝－1.解得k＝1，b＝－1，一次函数的解析式为y＝x－1；(2)当x＝2时，y＝2－1＝1，所以C点坐标为(2，1)；又C点在反比例函数y＝mx(m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m＝2.所以反比例函数的解析式为y＝2x.1．(2016重庆中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图形与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝43，点B的坐标为(m，－2)．(1)求△AHO的周长；(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．解：(1)由OH＝3，tan∠AOH＝43，得AH＝4.即A(－4，3)．由勾股定理，得AO＝OH2＋AH2＝5，△AHO的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；(2)将A点坐标代入y＝kx(k≠0)，得k＝－4×3＝－12，反比例函数的解析式为-2-y＝－12x；当y＝－2时，－2＝－12x，解得x＝6，即B(6，－2)．将A，B两点坐标代入y＝ax＋b，得－4a＋b＝3，6a＋b＝－2，解得a＝－12，b＝1，一次函数的解析式为y＝－12x＋1.2．(2016乐山中考)如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B12，n.(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.又∵点B12，n在反比例函数y＝4x的图象上，∴12n＝4，解得n＝8，即点B的坐标为12，8.由A(2，2)，B12，8在一次函数y＝ax＋b的图象上，得2＝2a＋b，8＝12a＋b，解得a＝－4，b＝10，∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10；(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位长度得直线的解析式为y＝－4x＋10－m，∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝4x有且只有一个交点，令－4x＋10－m＝4x，得4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18.与面积有关的问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B的横坐标为1，即C(1，0)．再由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mx与y＝nx即可．(2)将A、C坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，-3-∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝nx可得m＝－2，n＝－2；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由题意得－k＋b＝2，k＋b＝0.解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1.3．(2016宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x0)的图象交于A(2，－1)，B12，n两点，直线y＝2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．解：(1)把A(2，－1)代入反比例解析式得：－1＝m2，即m＝－2，∴反比例解析式为y＝－2x，把B12，n代入反比例解析式得：n＝－4，即B12，－4.把A与B的坐标代入y＝kx＋b中得：2k＋b＝－1，12k＋b＝－4，解得k＝2，b＝－5.则一次函数的解析式为y＝2x－5；(2)设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为(0，－5)，∵点C的坐标为(0，2)，CE＝2－(－5)＝7，∵点A到y轴的距离为2，点B到y轴的距离为12，∴S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝214.4．(2016泸州中考)如图，一次函数y＝kx＋b(k0)与反比例函数y＝mx的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：(1)∵点A(4，1)在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x；(2)将点A(4，1)代入一次函数的解析式中，即1＝4k＋b，解得b＝1－4k.∴y＝kx＋(1－4k)，令x＝0，则y＝1－4k，∴C(0，1－4k)．又y＝4x，y＝kx＋（1－4k），⇒kx2＋(1－4k)x－4＝0.xA·xB＝－4k，xA＝4.∴xB＝－1k，S△OBC＝12OC·xB＝3，∴k＝－12，-4-∴y＝－12x＋3.与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．【解析】(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y＝kx，得1＝k4.∴k＝4，∴y＝4x，将B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝4x中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx＋b，由4k＋b＝1，－k＋b＝4，解得k＝－35，b＝175，y＝－35x＋175，∴P0，175.5．(2016新疆中考)如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx(x0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．(1)求反比例函数的解析式；(2)点D(a，1)是反比例函数y＝kx(x0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)，∴在直线y＝2x＋3中，当x＝1时，y＝2＋3＝5，∴点B-5-的坐标为(1，5)，又∵点B(1，5)在反比例函数y＝kx上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为y＝5x；(2)将点D(a，1)代入y＝5x，得：a＝5，∴点D坐标为(5，1)，设点D(5，1)关于x轴的对称点为D′(5，－1)，过点B(1，5)、点D′(5，－1)的直线解析式为：y＝kx＋b，可得：k＋b＝5，5k＋b＝－1，解得k＝－32，b＝132，∴直线BD′的解析式为：y＝－32x＋132，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得－32x＋132＝0，解得：x＝133，故点P的坐标为133，0.6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y＝kx(x0)的图象经过点A，动直线x＝t(0t8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.(1)求k的值；(2)求△BMN面积的最大值；(3)若MA⊥AB，求t的值．解：(1)将A点坐标(8，1)代入y＝kx得k＝8；(2)设直线AB的解析式为y＝mx＋b，将A点坐标(8，1)和B点坐标(0，－3)代入得1＝8m＋b，－3＝b，解得m＝12，b＝－3，故直线AB的解析式为y＝12x－3，所以Nt，t2－3，又Mt，8t，故MN＝8t－t2＋3，△BMN面积为S＝128t－t2＋3t＝－14t2＋32t＋4＝－14(t－3)2＋254，所以当t＝3时，△BMN面积的最大值为254；(3)如图，过A作AQ⊥y轴于Q，延长AM交y轴于P，又AM⊥AB.所以△ABQ∽△PAQ，故AQBQ＝PQAQ，即84＝PQ8，所以PQ＝16，所以P(0，17)．又A(8，1)．所以直线AP的解析式为y＝－2x＋17.所以－2x＋17＝8x，解得x1＝12，x2＝8(舍去)，所以t＝12.与平移有关的问题-6-【例4】如图，直线y＝12x与双曲线y＝kx(k0，x0)交于点A，将直线y＝12x向上平移4个单位长度后与y轴交于点C，与双曲线y＝kx(k0，x0)交于点B，若OA＝3BC，求k的值．【解析】分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A(3x，32x)，可得B(x，12x＋4)．【学生解答】解：∵将直线y＝12x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝12x＋4，分别过点A，B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A3x，32x，∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴CF＝13OD，又∵点B在直线y＝12x＋4上，∴Bx，12x＋4，∵点A，B在双曲线y＝kx(x0)上，∴3x×32x＝x×12x＋4，解得x＝1(x＝0直接舍去)，∴k＝3×1×32×1＝92.7．如图，已知函数y＝43x与反比例函数y＝kx(x0)的图象交于点A，将y＝43x的图象向下平移6个单位长度后与双曲线y＝kx交于点B，与x轴交于点C.(1)求点C的坐标；(2)若OACB＝2，求反比例函数的解析式．解：(1)点C坐标为92，0；(2)作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，Rt△OAE∽Rt△CBF，∴OACB＝AEBF＝OECF＝2，设A点坐标为a，43a，则OE＝a，AE＝43a，∴CF＝12a，BF＝23a，∴OF＝OC＋CF＝92＋12a，∴B点坐标为92＋12a，23a，∵点A与点B都在y＝kx的图象上，∴a·43a＝(92＋12a)·23a，∴a＝3，∴点A的坐标为(3，4)，把A(3，4)代入y＝kx中，得k＝3×4＝12.∴反比例函数的解析式为y＝12x.8．如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx相交于A，B两点，点A的坐标为(1，2)．(1)求反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出当mxkx时，x的取值范围；(3)计算线段AB的长．-7-解：(1)把A(1，2)代入y＝kx，得k＝2.即反比例函数的解析式是y＝2x；(2)把A(1，2)代入y＝mx，得m＝2.即直线的解析式是y＝2x.解方程组y＝2x，y＝2x，得点B的坐标是(－1，－2)．∴当mxkx时，x的取值范围是－1x0或x1；(3)过点A作AC⊥x轴于点C.∵A(1，2)，∴AC＝2，OC＝1.由勾股定理，得AO＝22＋12＝5.同理求出OB＝5，∴AB＝25.