两个基本计数原理

1.1两个基本计数原理“农夫山泉，有点甜.”------某矿泉水广告语.千岛湖问题１：五一期间，某家庭自助旅游，欲从姜堰去千岛湖，一天中火车有３班，汽车有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？思考：假使一天中还有航班1次，轮船2次,那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的方法？问题情境姜堰千岛湖火车2火车1火车3汽车1汽车2能3种2种2类从姜堰到千岛湖3+2=5种情境1:完成这件事情共有多少种不同的方法？每类方案中分别有几种不同的方法？每类方案中的任一种方法能否独立完成这件事情？完成这个事情的方法有几类方案？此人要做什么事情？问题剖析千岛湖姜堰火车3种汽车2种我们把完成一件事情有几种类型的原理叫分类计数原理分类计数原理：完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=种不同的方法.建构数学两个基本计数原理要点：（1）分类；（2）每种方法都相互独立，可以完成这件事情；（3）N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）（加法原理）m1+m2+…+mn问题２：后来打算先去上海看东方明珠,于是改变行程，先乘火车从姜堰至上海，再乘汽车从上海到千岛湖，一天中火车有３班，汽车有２班，那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？(不考虑时间因素)火车1汽车1火车2火车3汽车2姜堰上海千岛湖问题情境问题剖析此人要做什么事情？完成这个事情需要分几个步骤？每步中的任一方法能否独立完成这件事情？每步方法中分别有几种不同的方法？完成这件事情共有多少种不同的方法？姜堰到千岛湖2步不能3种2种3×2=6种情境2:姜堰火车3种方法上海千岛湖汽车2种方法我们把完成一件事情分几个步骤的原理叫分步计数原理分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=种不同的方法.要点：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之积）（乘法原理）两个基本计数原理建构数学m1×m2×…×mn新知1：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.注:我们把这种计数原理叫分类计数原理又称加法原理.注:我们把这种计数原理叫分步计数原理又称乘法原理.新知2：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法。nmmmN21新知3、小组讨论交流总结出两个原理的联系与区别：分类计数原理分步计数原理联系区别1区别2完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”每类办法相互独立，每类方法都能独立地完成这件事情各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题即：类类独立，步步关联。例1.某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校代会(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男,女生名一名,有多少种不同的选法?解:(1)选出1名代表有2类方式:第1类,从男生中选出1名代表,有28种不同方法;第2类,从女生中选出1名代表,有20种不同方法.根据分类计数原理,共有不同的选法种数是28+20=48(2)选出男,女生代表各1名,可以分成2个步骤完成:第一步,选1名男生代表,有28种不同方法;第二步,选1名女生代表,有20种不同方法.根据分步计数原理,共有不同的选法种数是28×20=560思路小结：应用这两个原理的关键是看完成这件事情是“分类”还是“分步”。例2、(1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(2)在图(2)的电路中,合上两只开关才可以接通电路,有多少种不同的方法?(1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(1)在图(1)中按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一只即可,故有2+3=5种不同的方法.(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(2)在图(2)中,按要求接通电路必须分两步进行:第一步,合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关。故有2×3=6种不同方法。答:在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有5种不同的方法；图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有6种不同的方法.例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个?解:(1)设置四位密码,每一位上都可以从0到9这10个数字中取一个,有10种取法,根据分步计数原理,四位密码的个数是10×10×10×10＝10000变：若要求四个数字不重复，则有多少种不同的密码？2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的密码共有多少个?(2)设置四位密码,每一位上都可以从0到9这10个数字或从A到Z这26个英文字母中的1个中取一个,共有10+26=36种取法.根据分步计数原理,四位密码的个数是36×36×36×36＝16796163)密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个?(3)设置一个由0到9这10个数字组成的4～6位密码,有3类方式,其中设置4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106,根据分类计数原理,设置由0到9这10个数字组成的4～6位密码个数是104+105+106=1110000解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步:m1=3种第二步:m2=2种第三步:m3=1种第四步:m4=1种所以根据分步记数原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种.例4、要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？课堂小结1.分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.课堂小结：通过本节课的学习，你初步掌握了哪些知识？