9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法

教学内容•一维波动方程•梁的弯曲振动•集中质量法•假设模态法•模态综合法•有限元法•连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件•当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法•各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似集中质量法假设模态法有限元法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解有限元法兼有以上两种方法的特点连续系统的振动/集中质量法•集中质量法•工程系统的物理参数常常分布不均匀•惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体•惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上•物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量•集中质量的数量取决于所要求的计算精度•连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析连续系统的振动/集中质量法•集中质量法以等截面梁为例材料密度长度l抗弯刚度EI将梁均分为四段l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/m并将每段的质量平均分到该段的两端支座处的集中质量不影响梁的弯曲连续梁可用三个集中质量代替：4321mmmm质量矩阵：1000100014mM梁质量：Slm横截面积度S连续系统的振动/集中质量法三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/m由材料力学，得柔度影响系数：EIlff768933311质量矩阵：1000100014mMEIlffff76811332232112EIlf76816322EIlff768733113柔度矩阵：911711161171197683EIlF可以求解系统固有频率连续系统的振动/集中质量法也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/m3/l3/m3/m3/l3/l2/l2/m2/l在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有频率连续系统的振动/集中质量法连续梁三自由度系统两自由度系统单自由度系统固有频率精确解近似解误差近似解误差近似解误差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%SEIl2870.9123SEIl248.39SEIl283.88SEIl2867.9SEIl2859.9SEIl2798.9SEIl219.39SEIl218.38SEIl221.83（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于悬臂梁系统，计算精度明显下降连续系统的振动/集中质量法教学内容•一维波动方程•梁的弯曲振动•集中质量法•假设模态法•模态综合法•有限元法•假设模态法利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：1)()(),(iiitqxtxy)(xi：模态函数)(tqi：模态坐标若取前n个有限项作为近似解，则有：niiitqxtxy1)()(),()(xi：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的试函数族)(tqi：与假设模态所对应的广义坐标•动力学方程•瑞利法•里兹法连续系统的振动/假设模态法假定模态函数已经确定)(xi梁的近似解可写为：Φqniiitqxtxy1)()(),(nnR121],,,[Φ121],,,[nTnRqqqq以均质梁的横向振动为例动能：ldxttxyST02),(21lTTdxS0))((21qΦΦqqMqT21nnlTRdxS0ΦΦM质量阵yxl0ljijiijdxxxSmm0)()(质量阵为对称阵连续系统的振动/假设模态法假定模态函数已经确定)(xi梁的近似解可写为：Φqniiitqxtxy1)()(),(nnR121],,,[Φ121],,,[nTnRqqqq以均质梁的横向振动为例yxl0势能：ldxxtxyEIV0222),(21lTTdxEI0))((21qΦΦqKqqT21nnlTRdxEI0ΦΦK刚度阵ljijiijdxxxEIkk0)()(刚度阵为对称阵连续系统的振动/假设模态法有激励存在的拉格朗日方程：qMqTT21nnlTRdxS0ΦΦMKqqTV21nnlTRdxEI0ΦΦKiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtd或VTL拉氏函数iQ：对应于广义坐标的广义力iq设沿梁作用有分布力p(x,t)当梁有虚位移时，niiiqy1分布力的虚功：lydxtxptW0),()(lniiidxqtxp01),(niiliqdxxtxp10)(),(连续系统的振动/假设模态法有激励存在的拉格朗日方程：qMqTT21nnlTRdxS0ΦΦMKqqTV21nnlTRdxEI0ΦΦKiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtd或VTL分布力的虚功：niiliqdxxtxptW10)(),()(按照广义力的定义：niiiqQtW1)(比较，得：liidxxtxptQ0)(),()(矩阵形式：121)](,),(),([)(nTnRtQtQtQtQ连续系统的振动/假设模态法有激励存在的拉格朗日方程：qMqTT21nnlTRdxS0ΦΦMKqqTV21nnlTRdxEI0ΦΦKiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtd或VTLT、V、Q代入拉格朗日方程：121)](,),(),([)(nTnRtQtQtQtQ广义力：liidxxtxptQ0)(),()(拉格朗日方程的矩阵形式：QqqqVTTdtd)(tQKqqM弹性体的受迫振动转换成了n自由度系统的强迫振动问题连续系统的振动/假设模态法yxl0axm梁的近似解：Φqniiitqxtxy1)()(),(动能：ldxttxyST02),(21qMqT21nnlTRdxS0ΦΦM质量阵系统的动能：202),(21),(21ttxymdxttxySTalqMMq)(2110TnnlTRdxS00ΦΦM质量阵：如果梁上有集中质量m，nnaTaRxxm)]([)]([1ΦΦM10MMM)()()()(0ajailjijiijxxmdxxxSmm对称阵连续系统的振动/假设模态法系统的势能：如果梁上有卷簧k1和弹簧k2，势能：ldxxtxyEIV0222),(21KqqT21nnlTRdxEI0ΦΦK刚度阵梁的近似解：Φqniiitqxtxy1)()(),(yxl0cx2kbx1k),(21),(21),(2122210222txykxtxykdxxtxyEIVcblqKKKq)(21210TnnlTRdxEI00ΦΦK刚度阵：nnbbTRxxk)()(11ΦΦKnnccTRxxk)()(22ΦΦK210KKKK)()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk对称阵连续系统的振动/假设模态法例：等截面简支梁梁中部有一集中质量Ma，大小等于梁的质量采用假设模态法，求：（1）梁的前三阶固有频率（2）梁的稳态横向强迫振动yx2/l2/l0tPsin0Ma集中质量上有外力tPsin0450SlEI假设模态取为：),2,1(,sin)(ilxixi连续系统的振动/假设模态法解：nnlTRdxS00ΦΦMnnaTaRxxm)]([)]([1ΦΦM3020102032SlM若对第三阶固有频率的精度要求不高，取n＝3质量阵：yx2/l2/l0tPsin0Ma模态函数阵：]3sin,2sin,[sin)](),(),([321lxlxlxxxxΦnnlTRdxEI00ΦΦK81000160001234lEIK刚度阵：连续系统的振动/假设模态法3020102032SlM81000160001234lEIK0ψMK)(2416825.5SlEI424784.39SlEI439944.68SlEI特征值问题：0048.005742.02)1(Slψ0102)2(Slψ7746.005199.02)3(Slψ固有频率：正则化特征向量：连续系统的振动/假设模态法梁的稳态响应：3131sin)()()(),(iiiiilxitqtqxtxy外力写成分布力形式：yx2/l2/l0tPsin0Ma强迫振动方程：)2()sin(),(0lxtPtxp广义力：liidxxtxptQ0)(),()()3,2,1(,2sinsinsin)2(sin)(000iitPdxlxilxtPtQli)(tQKqqMTtPt]1,0,1[sin)(0Q广义力列阵：连续系统的振动/假设模态法离散化强迫振动方程：)(tQKqqM101sin)(0tPtQ3020102032SlM81000160001234lEIK0048.005742.02)1(Slψ0102)2(Slψ7746.005199.02)3(Slψ416825.5SlEI424784.39SlEI439944.68SlEI令：),,(321diagΛ],,[)3()2()1(ψψψΨ坐标变换：Ψηq)(tTQΨΛηη梁的稳态响应：31sin)(),(iilxitqtxy求得η得q代入梁的稳态响应方程中得解连续系统的振动/假设模态法•假设模态法•动力学方程•瑞利法•里兹法连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法，是多自由度系统的瑞利法的推广以梁的弯曲振动为例假设梁以某阶模态函数作频率为的自由振动：txtxysin)(),(设系统为保守系统，机械能守恒maxmaxVT即ldxttxyST02),(21ldxxST022max)(21ldxxtxyEIV0222),(21ldxxEIV02max)(21引入系统的参考动能：ldxxSTT022max*)(21连续系统的振动/假设模态法定义瑞利商：maxmaxVTldxxST022max)(21ldxxEIV02max)(21