三角形培优训练100题集锦(学生用)

第1页共48页三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图ABC中，5AB，3AC，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DADE，连接BE又∵CDBD，CDABDE∴SASCDABDE，3ACBE∵BEABAEBEAB(三角形三边关系定理)即822AD∴41AD2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DFDE，D是中点，试比较CFBE与EF的大小。证明：延长FD到点G，使DFDG，连接BG、EG∵CDBD，DGFD，CDFBDG∴CDFBDGECABDFECABD第2页共48页∴CFBG∵DFDE∴EGEF在BEG中，EGBGBE∵CFBG，EGEF∴EFCFBE3、如图，ABC中，ACDCBD，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.证明方法一：利用相似论证。证明：∵ACDCBD∴BCAC21∵E是DC中点∴ACDCEC2121，BCAACE∴BCA∽ACE∴CAEABC∵DCAC∴DACADC，BADABCADC∴CAEDAEBADABC∴DAEBAD即AD平分BAE证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE到M，使AEEM，连结DM易证CEADEM∴MDEC，DMAC又∵ACDCBD∴DMBD，CADADC又∵CADCADB，ADCMDEADM∴ADBADM∴ADBADM∴DAEBAD即AD平分BAE4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90CAEBAD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。（1）如图1当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图1中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（900）后，如图2所ECABDMECABD第3页共48页图1MNCABDNECABDM图2示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形∴BGAC，180BACABG又∵180BACDAE∴DAEABG再证：ABGDAE∴AMDE2，EDABAG延长MN交DE于H∵90DAHBAG∴90DAHHDA∴EDAM（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF∵BADA，AFEA∴EADDAFBAF90∵在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFA∴EADFAB（SAS）∴DEBF，AENF∴90AENAPEFFPD∴DEFB又∵AFCA，MBCM∴FBAM//，且FBAM21∴DEAM，DEAM215、如图，ABC中，ACAB2，AD平分BAC，且BDAD，求证：ACCD证明：过D作ABDM，垂足为M∴90BMDAMD又∵BDAD，DMDMGCHABDMNEFCPABDMNEMCABD第4页共48页∴BDMADM∴BMAM∵ACAB2∴AMAC∵AD平分BAC∴CADBAD在ADC和ADM中AMAC，CADBAD，ADAD∴ADCADM∴90ADMACD即:ACCD6、如图，BDAC//，EA，EB分别平分CAB，DBA，CD过点E，求证：BDACAB证明：在AB上截取ACAF，连接EF在CAE和FAE中AEAEFAECAEAFAC∴FAECAE∴FEACEA∴90FEBFEABEDCEA即DEBFEB在DEB和FEB中DBEFBEBEBEDEBFEB∴FEBDEB（ASA）∴BFBD∴BDACBFAFAB7、如图，已知在ABC内，60BAC，40C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BPABAQBQ证明：延长AB到D，使BPBD，连接PD．则5D∵AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线，60BAC，40C∴3021，804060180ABC，C4043∴QCQB又80435D∴40D在APD与APC中APAP，21，40CD∴APCAPD（AAS）FEDABC45232DQPCAB1第5页共48页∴ACAD即QCAQBDAB∴BPABAQBQ8、如图，在四边形ABCD中，BABC，CDAD，BD平分ABC.求证：180CA解：过点D作BCDE于E，过点D作ABDF交BA的延长线于F∵BD平分ABC∴DFDE，90DEBF在CDERt和ADFRt中DFDECDAD∴CDERtADFRt（HL）∴CFAD∴180FADBADCBAD9、如图，在ABC中，ACAB，CADBAD，P为AD上任意一点。求证：PCPBACAB证明：如图，在AB上截取AE，使ACAE，连接PE在AEP和ACP中APAPCADBADACAE∴ACPAEP（SAS）∴PCPE在PBE中，PEPBBE，即PCPBACAB10、在四边形ABCD中，BCAD//，点E是AB上一个动点，若60B，BCAB，且60DEC，判断AEAD与BC的关系并证明你的结论。分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有AEADBC连接AC，过E作BCEF//并AC于F点则可证AEF为等边三角形即EFAE，60AFEAEF∴120CFE又∵BCAD//，60B∴120BAD又∵60DECDEACBEFDCABEDAPCBDEACBF第6页共48页∴FECAED在ADE与FCE中CFEEAD，EFAE，FECAED∴FCEADE∴FCAD∴AEADBC点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。11、如图D为ABC的角平分线，直线ADMN于A.E为MN上一点，ABC周长记为AP，EBC周长记为BP.求证：ABPP.证明：延长BA到F，使ACAF,连接EF∵AD为ABC的角平分线∴CADBAD∵ADMN∴CAECADBADFAE9090∵ACAF，AEAE∴ACEAFE∴ECEF∵BFEFBE∴ACABAFABECBE∴BC+BE+CEAB+AC+BCBCACABBCECBE∴ABC的周长小于EBC的周长，即ABPP12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．FNMDEACBDCBAEMMEABCD第7页共48页解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．13、如图，已知在ABC中，60B，ABC的角平分线AD，CE相交于点O.求证：ODOE证明：在AC上取点F，使AEAF，连接OF∵AD是A的平分线∴FAOEAO∵AOAO∴AFOAEO∴FOEO，AOFAOE∵CE是C的平分线∴FCODCO∵60B∴120ACBBAC∴OCACAOCOD6021ACBBAC∴606060180180AOFCODCOF∴CODCOF∵OCOC∴OCFOCD∴OFOD∴CDAECFAFAC，ODOE即：CDAEACFODEACB9第8页共48页OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③14、如图，ABC中，AD平分BAC，BCDG且平分BC，ABDE于E，ACDF于F.（1）说明CFBE的理由；（2）如果aAB，bAC，求AE、BE的长。（1）证明:连接DB，DC∵BCDG且平分BC∴DCDB∵ABDE，ACDF，AD平分BAC∴DFDE∴DFCRtDEBRt∴CFBE（2）解:∵DFDE，ADAD∴AFDRtAEDRt∴AFAE∴AEAFAECFAFBEAEACAB2，即AEba2，2baAE∴BECFAFBEAEACAB2∴BEba2，2baBE15、如图①，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在ABC中，ACB是直角，60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断