由对称性解2-SAT问题

由对称性解2-SAT问题2-SAT:2-SAT就是2判定性问题，是一种特殊的逻辑判定问题。2-SAT问题有何特殊性？该如何求解？我们从一道例题来认识2-SAT问题，并提出对一类2-SAT问题通用的解法。Poi0106PeacefulCommission[和平委员会]某国有n个党派，每个党派在议会中恰有2个代表。现在要成立和平委员会，该会满足：每个党派在和平委员会中有且只有一个代表如果某两个代表不和，则他们不能都属于委员会代表的编号从1到2n，编号为2a-1、2a的代表属于第a个党派输入n（党派数），m（不友好对数）及m对两两不和的代表编号其中1≤n≤8000，0≤m≤20000求和平委员会是否能创立。若能，求一种构成方式。例：输入：32输出：1134245分析：原题可描述为：有n个组，第i个组里有两个节点Ai,Ai'。需要从每个组中选出一个。而某些点不可以同时选出（称之为不相容）。任务是保证选出的n个点都能两两相容。（在这里把Ai,Ai'的定义稍稍放宽一些，它们同时表示属于同一个组的两个节点。也就是说，如果我们描述Ai，那么描述这个组的另一个节点就可以用Ai'）初步构图如果Ai与Aj不相容，那么如果选择了Ai，必须选择Aj‘；同样，如果选择了Aj，就必须选择Ai’。AiAj'AjAi‘这样的两条边对称我们从一个例子来看：假设4个组，不和的代表为：1和4，2和3，7和3，那么构图：13245678假设：首先选13必须选，2不可选8必须选，4、7不可选5、6可以任选一个矛盾的情况为：存在Ai，使得Ai既必须被选又不可选。得到算法1：枚举每一对尚未确定的Ai,Ai‘，任选1个，推导出相关的组，若不矛盾，则可选择；否则选另1个，同样推导。若矛盾，问题必定无解。13245678此算法正确性简要说明：由于Ai,Ai'都是尚未确定的，它们不与之前的组相关联，前面的选择不会影响Ai,Ai'。算法的时间复杂度在最坏的情况下为O(nm)。在这个算法中，并没有很好的利用图中边的对称性先看这样一个结构：更一般的说：在每个一个环里，任意一个点的选择代表将要选择此环里的每一个点。不妨把环收缩成一个子节点（规定这样的环是极大强连通子图）。新节点的选择表示选择这个节点所对应的环中的每一个节点。此图中1和3构成一个环，这样1和3要么都被选择，要么都不被选。2和4同样如此。图的收缩13245678对于原图中的每条边AiAj（设Ai属于环Si，Aj属于环Sj）如果Si≠Sj，则在新图中连边：SiSj这样构造出一个新的有向无环图。此图与原图等价。13245678S1S1'S2S2'S3'S3图的收缩通过求强连通分量，可以把图转换成新的有向无环图，在这个基础上，介绍一个新的算法。新算法中，如果存在一对Ai,Ai'属于同一个环，则判无解，否则将采用拓扑排序，以自底向上的顺序进行推导，一定能找到可行解。至于这个算法的得来及正确性，将在下一段文字中进行详细分析。新算法的提出深入分析：回忆构图的过程：对于两个不相容的点Ai,Aj，构图方式为：AiAj'AjAi'前面提到过，这样的两条边对称，也就是说：如果存在AiAj，必定存在Aj'Ai'。13245678引理：原图具有对称传递性等价于：AiAkAk'Ai'方便起见，之后“”代表这样一种传递关系AiAkAjAi'Ak'Aj'猜测1：图中的环分别对称如果存在Ai,Aj，Ai,Aj属于同一个环（记作Si），那么Ai',Aj'也必定属于一个环（记作Si'）。再根据前面的引理，不难推断出每个环分别对称。Ai'Aj'AiAj13245678推广1：新图中，同样具有对称传递性。S1S1'S2S2'S3'S3一个稍稍复杂点的结构其中红、蓝色部分分别为两组对称的链结构证明方式与引理相类似S1S1'S2S2'S3'S3分开来看，更加一般的情况，即下图：（说明：此图中Si'有可能为Si的后代节点）于是可以得到推广2：对于任意一对Si,Si'，Si的后代节点与Si'的前代节点相互对称。继而提出猜测2：若问题无解，则必然存在Ai,Ai'，使得Ai,Ai'属于同一个环。也就是，如果每一对Ai,Ai'都不属于同一个环，问题必定有解。下面给出简略证明：问题的关键先提出一个跟算法1相似的步骤：如果选择Si，那么对于所有SiSj，Sj都必须被选择。而Si'必定不可选，这样Si’的所有前代节点也必定不可选（将这一过程称之为删除）。由推广2可以得到，这样的删除不会导致矛盾。对称性的利用每次找到一个未被确定的Si，使得不存在SiSi'选择Si及其后代节点而删除Si’及Si‘的前代节点。一定可以构造出一组可行解。因此猜测2成立。S1S1'S2S2'S3'S3假设选择S3'选择S3'的后代节点,S1'删除S3删除S3的前代节点S1S1与S1'是对称的另外，若每次盲目的去找一个未被确定的Si，时间复杂度相当高。以自底向上的顺序进行选择、删除，这样还可以免去“选择Si的后代节点”这一步。用拓扑排序实现自底向上的顺序。S1S1'S2S2'S3'S3一组可能的拓扑序列(自底向上）S1'S2S2'S3'S3S1算法2的流程：1．构图2．求图的极大强连通子图3．把每个子图收缩成单个节点，根据原图关系构造一个有向无环图4．判断是否有解，无解则输出（退出）5．对新图进行拓扑排序6．自底向上进行选择、删除7．输出小结：整个算法的时间复杂度大概是O(m)，解决此问题可以说是相当有效了。在整个算法的构造、证明中反复提到了一个词：对称。发现、利用了这个图的特殊性质，我们才能够很好的解决问题。并且，由2-SAT问题模型变换出的类似的题目都可以用上述方法解决。全文总结：充分挖掘图的性质，能够更好的解决问题。不仅仅是对于图论，这种思想可以在很多问题中得到很好的应用。希望我们能掌握此种解题的思想，在熟练基础算法的同时深入分析、灵活运用、大胆创新，从而解决更多更新的难题。