由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

【教育类精品资料】(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程;(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.解析几何主要讨论以下两个问题:设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求点M的轨迹方程并用方程研究轨迹(曲线)的性质.解:求动点M的轨迹方程：(1)建立直角坐标系.取已知的两条互相垂直的直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy.(3)把几何条件转化为坐标表示.过M分别做x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F.于是有点M是轨迹上的点⇔|ME||MF|=1,(4)证明(略).(2)设动点M的坐标为(x,y);转化为方程为|x||y|=1.xyMFEo例题例设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求点M轨迹方程并用方程研究轨迹(曲线)的性质.利用方程研究曲线的性质(1)曲线的组成;(3)曲线的对称性质;(5)画出方程的曲线.(4)曲线的变化情况;(2)曲线与坐标轴的交点;M的轨迹方程为xy=1或xy=-1.xyMFEo例1设A,B两点的坐标是(－1,－1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.法一：求AB的中点，再求所求直线的斜率法二：设所求直线上任一点P(x,y)2222)7()3()1()1(yxyx所以x+2y－7=0①②③求曲线方程的一般步骤：1.建系：建立适当的坐标系；２.用M(x,y)表示曲线上任意一点;３.把几何条件转化为坐标表示；4.化简：化方程为最简形式；５.证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹.总结例2过P(2,4)作互相垂直的直线l1,l2，若l1交x轴于A，l2交x轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.例3已知一条曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程.21解：设所求曲线方程上任一点M(x,y),则||1||2OMAM22221.2(3)xyxy故x2+y2+2x－3=0.例4已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.MoyxAB1.求到坐标原点的距离等于2的轨迹方程.x2+y2=42.已知点M与x轴的距离和它与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程.x2－8y+16=03.求证：到点P(0,1)和直线：y=－1距离相等的点的轨迹方程是y=x2.41l练习课本：P37习题2.1A组2,3;B组1,2.课后作业