线性代数 第三章

1第三章向量组与矩阵的秩§１n维向量在平面几何中，坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述，点的坐标是一个有序数对(,)xy.一个n元方程1122nnaxaxaxb可以用一个1n元有序数组12(,,,,)naaab来表示.1n矩阵和1n矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)aaa来表示.有序数组的应用非常广泛，有必要对它们进行深入的讨论.定义1n个数组成的有序数组12(,,,)naaa（３.１）或12naaa（３.２）称为一个n维向量，简称向量.一般，我们用小写的粗黑体字母，如,α,β,γ等来表示向量，(3.1)式称为一个行向量，(3.2)式称为一个列向量.数12,,,naaa称为这个向量的分量.ia称为这个向量的第i个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量.实际上，n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也常看成1n矩阵.下面我们只讨论实向量.设k和l为两个任意的常数.α，β和γ为三个任意的n维向量，其中12(,,,)naaaα，12(,,,)nbbbβ.定义2如果α和β对应的分量都相等，即,1,2,,iiabin2就称这两个向量相等，记为α＝β.定义3向量(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)称为α与β的和，记为α＋β.称向量(ka1，ka2，…，kan)为α与k的数量乘积，简称数乘，记为kα.定义4分量全为零的向量(0，0，…，0)称为零向量，记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a1，-a2，…，-an)称为α的负向量，记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质：（１）α＋β＝β＋α；（交换律)（２）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律）（３）α＋0＝α；（４）α＋（－α）＝0；（５）k(α+β)=kα+kβ；（６）（k+l)α=kα+lα；（７）k(lα)=(kl)α；（８）１α＝α；（９）０α＝0；（１０）k0＝0.在数学中，满足(１)-(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１）如果k≠0且α≠0，那么kα≠0.显然n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义，与把它们看作1×n矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地，我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算，这些运算与把它们看成矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的，并且同样具有性质(１)-(１１).§2线性相关与线性无关通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行量组α１，α２，…，αs可以排列成一个s×n分块矩阵12saaAa，其中αi为由A的第i行形成的子块，α１，α２，…，αs称为Ａ的行向量组.n维列向量组β１，β２，…，βs可以排成一个n×s矩阵Ｂ＝（β１，β２，…，βs），其中βj为Ｂ的第j列形成的子块，β１，β２，…，βs称为B的列向量组.很多情况下，对矩阵的讨论都归结于对它们的行向量组或列向量组的讨论.定义5向量组α１，α２，…，αs称为线性相关的，如果有不全为零的数k１，k２，…，3ks，使1siiika=k１α１+k２α２+…+ksαs＝0.（3.3）反之，如果只有在k１=k２=…=ks=0时(3.3)才成立，就称α１，α２，…，αs线性无关.换言之，当α１，α２，…，αs是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵(k１，k２，…，ks)使1212(,,,)sskkk0aaa.当α１，α２，…，αs为列向量组时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵(k１，k２，…，ks)′使1212(,,,)sskkk0aaa.显然单个零向量构成的向量组是成性的相关的.例1判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n的线性相关性.解对任意的常数k１，k２，…，kn都有k１ε1+k２ε2+…+knεn＝(k１，k２，…，kn).所以k１ε1+k２ε2+…+knεn=0当且仅当k1=k2=…=kn=0.因此ε1，ε2，…，εn线性无关.ε1，ε2，…，εn称为基本单位向量.例2判断向量组α１＝（１，１，１），α２＝（０，２，５），α3＝（１，３，６）的线性相关性.解对任意的常数k１，k２，k3都有k１α１+k２α２+k3α3=(k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3).所以k１α１+k２α２+k3α3=0当且仅当4131231230,230,560.kkkkkkkk由于k1=1，k2=1，k3=-1满足上述的方程组，因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１，α２，α3线性相关.例3设向量组α１，α２，α3线性无关，β１＝α１+α２，β２＝α２+α3，β3＝α3+α１，试证向量组β１，β２，β3也线性无关.证对任意的常数都有k１β１+k２β２+k3β3=(k１+k3)α１＋（k１+k２)α２+(k２+k3)α3.设有k１，k２，k3使k１β１+k２β２+k3β3=0.由α１，α２，α3线性无关，故有1312230,0,0.kkkkkk由于满足此方程组的k１，k２，k3的取值只有k１=k２=k3=0,所以β１，β２，β3线性无关.定义6向量α称为向量组β１，β２，…，βt的一个线性组合，或者说α可由向量组β１，β２，…，βt线性表出(示)，如果有常数k１，k２,…，kt使α＝k１β１＋k２β２+…＋ktβt.此时，也记1tiiika.例4设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1),β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能，写出具体表达式.解令β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4于是得线性方程组12341234123412341211kkkkkkkkkkkkkkkk因为51111111116011111111D,由克莱姆法则求出1234511,,444kkkk所以12345111,4444即β能由α１，α２，α3,α4线性表出.例5设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出?解设γ=k１α+k２β于是得方程组1122203724kkkk由第一个方程得k１=0，代入第二个方程得k２=7，但k２不满足第三个方程，故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理1向量组α１，α２，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出.证设α１，α２，…，αs中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设α１=k２α２+k3α3+…+ksαs，那么-α１+k２α２+…+ksαs=0，所以α１，α２，…，αs线性相关.反过来，如果α１，α２，…，αs线性相关，就有不全为零的数k１，k２，…，ks，使k１α１＋k２α２＋…＋ksαs=0.不妨设k１≠０，那么32123111.sskkkkkk即α１能由α２，α3，…，αs线性表出.例如，向量组α１＝（２，－１，３，１），α２＝（４，－２，５，４），α3＝（２，－１，４，－１）是线性相关的，因为α3＝３α１-α２.显然，向量组α１，α２线性相关就表示α１＝kα２或者α２＝kα１(这两个式子不一定能同时成立）.此时，两向量的分量成正比例.在三维的情形，这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１，α２，α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理2设向量组β１，β２，…，βt线性无关，而向量组β１，β２，…，βt，α线性相关，6则α能由向量组β１，β２，…，βt线性表出，且表示式是惟一的.证由于β１，β２，…，βt，α线性相关，就有不全为零的数k１，k２，…，kt，k使k１β１+k２β２+…+ktβt+kα=0.由β１，β２，…，βt线性无关可以知道k≠0.因此1212ttkkkkkk，即α可由β１，β２，…，βt线性表出.设α＝l１β１+l２β２+…＋ltβt＝h１β１+h２β２＋…＋htβt为两个表示式.由α－α＝（l１β１+β２+…＋ltβt)-(h１β１+h２β２＋…＋htβt)=（l１-h１）β１＋（l２-h２）β２＋…＋（lt-ht）βt＝0和β１，β２，…，βt线性无关可以得到l１=h１，l２=h２，…，lt=ht.因此表示式是惟一的.定义7如果向量组α１，α２，…，αs中每个向量都可由β１，β２，…，βt线性表出，就称向量组α１，α２，…，αs可由β１，β２，…，βt线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价.显然，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组α１，α２，…，αt可以经向量组β１，β２，…，βs线性表出，向量组β１，β２，…，βs可以经向量组12,,,p线性表出，那么向量组α１，α２，…，αt可以经向量组12,,,p线性表出.事实上，如果1,1,2,,,siijjjkit1,1,2,,,pjjmmmljs那么111111pppsssiijjmmijjmmijjmmjmjmmjklklkl.这就是说，向量组α１，α２，…，αt中每一个向量都可以经向量组12,,,p线性表出.因而，向量组α１，α２，…，αs可以经向量组12,,,p线性表出.由上述结论，得到向量组的等价具有下述性质：(1)反身性：向量组α１，α２，…，αs与它自己等价.(2)对称性：如果向量组α１，α２，…，αs与β１，β２，…，βt等价，那么β１，β２，…，βt也与α１，α２，…，αs等价.(3)传递性：如果向量组α１，α２，…，αs与β１，β２，…，βt等价，而向量组β１，β２，…，βt又与12,,,p等价，那么α１，α２，…，αs与12,,,p等价.7§3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂，我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性，通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理3有一个部分组线性相关的向量组线性相关.证设向量组α１，α２，…，αs有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１，α２，…，αr.则有不全为零的数k１，k２，…，kr使1110,srsiiiijiijrkk0因此α１，α２，…，αs也线性相关.推论含有零向量的向量组必线性相关.定理4设p1，p2，…，pn为1，2，…，n的一个排列，α１，α２，…，αs和β１，β２，…，βs为两向量组，其中1212nipiipiiiinip，即β１，β２，…，βs是对α１，α２，…，αs各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性.证对任意的常数k１，k２，…，ks注意到列向量1112211112222211122sssssiiinnssnkkkkkkkkkk和1112221122112211122nnnppsspsppsspiiippsspkkkkkkkkkk只是各分量的排列顺序不同，因此k１β１+k２β２+…+ksβs=0当且仅当k１α１+k２α２+…+ksαs=0.所以α１，α２，…，αs和β１，β２，…，βs有相同的线性相关性.定理4是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形，今后不再说明.定理5在r维向量组α１，α２，