线性代数 第二章

1第二章矩阵§1矩阵的定义在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵的概念.线性方程组1111221211222211220,0,0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的系数可排列成一个m行n列的矩形数表1111nnnnaaaa这样的表叫做mn阶矩阵，我们用粗黑体字A等表示，ija叫做矩阵A的元素，它位于矩阵A的第i行、第j列的交叉处，一般情况下，有定义如下：定义1给出mn个数，排成按一定顺序一个m行n列的矩形数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa，此数表叫做m行n列矩阵，简称mn矩阵.上面的矩阵一般用大写字母A，B，C…表示，有时亦记为A()ijmna,或A=()ija或mnA.在mn矩阵A中，如果m=n，就称A为n阶方阵.如果矩阵A的元素ija全为实(复)数，就称A为实(复)矩阵.只有一行的矩阵12()naaaA叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作12(,,,)naaaA.只有一列的矩阵212nbbbB=叫做列矩阵.当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O，注意不同型的零矩阵是不同的.方阵100010001nE叫做n阶单位阵，简记作nE，nE的特点是：从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1，其他元素都是0.在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说钢铁，有s个产地12,,,sAAA和n个销地12,,,sBBB，那么一个调运方案就可用一个矩阵111212122211nnsssnaaaaaaaaa来表示，其中ija表示由产地iA运到销地jB的数量.在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量12,,,myyy可由变量12,,,nxxx线性表示，即11111221221122221122,,.nnnnmmmmnnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax称这种由变量12,,,nxxx到变量12,,,myyy的变换为线性变换，它的系数构成一矩阵()ijmna(称为系数矩阵)是确定的.反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定了.从这个意义上讲，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换.例1线性变换3111222,,nnnyxyxyx对应n阶方阵12000000nA.这个方阵的特点是：不在对角线上的元素全为0，这种方阵称为对角矩阵.当12n时，A称为数量矩阵.§2矩阵的运算一、矩阵的加法首先，我们来定义矩阵相等，如果两同型矩阵的对应元素都相等，则称这两个矩阵相等.定义2设有两个mn矩阵()ijaA，()ijbB，那么A与B的和记为A+B，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababA+B=.注意，只有当两个矩阵同型时，才能进行加法运算.由于矩阵的加法归结为他们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证加法满足运算规律：(1)A+B=B+A；(交换律)(2)()+()A+BC=A+B+C.(结合律)二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记做A，规定为111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA数乘矩阵满足下列运算规律：(1)()()AA;4(2)()AAA；(3)()A+BA+B.设矩阵()ijaA，记(1)(1)()ijijaaA=A,-A称为的A负矩阵，显然有()0A+A=.其中O为各元素均为0的同型矩阵.由此规定+()AB=AB.三、矩阵与矩阵相乘定义4设()ijmsaA,()ijsnbB，那么规定矩阵A与B的乘积是()ijmncC，其中11221sijijijissjikkjkcabababab(1,2,,;1,2,,)imjn，并把此乘积记作C=AB.特别地，当行矩阵12()iiisaaa与列矩阵12jjsjbbb相乘时，即12121122()()jjiiisijijissjsjbbaaaabababb就是一个数ijc，这表明ijc就是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数与第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘.例2000abcA=，111000abcB=求AB和BA.5解111000aabbccAB=,000000000BA=.例3设A，B分别是1n和1n矩阵，且12naaaA=，12nbbbB=,计算AB和BA.解1111212212221212nnnnnnnnaabababaabababbbbaabababAB=.12121122nnnnaabbbabababaBA=.AB是n阶矩阵,BA是1阶矩阵(运算的最后结果为1阶矩阵时,可以把它与数等同看待,不必加矩阵符号,但是在运算过程中,一般不能把1阶矩阵看成数).例4如果()ijnnaA=是一齐次线性方程组的系数矩阵，而12nxxxx=,0000=分别是两个1n矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式0Ax=.由例2可知，矩阵乘法不满足交换律、消去律.但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足运算律：(1)()()ABC=ABC；(结合律)(2)()AB+C=AB+AC；(左分配律)()B+CA=BA+CA；(右分配律)(3)()()AB=AB(其中为数).对于单位矩阵E，容易验证6mmnmnEA=A，mnnmnAE=A.运算律(1)中令A=B=C为方阵，则3()AAA=A称为方阵E的3次幂.一般地，称nn个A=AAA为方阵的n次幂，规定0A=E.例5已知矩阵212424212A求nA.解∵122121A=∴21122122212211A=A∴111112222222222nnnnnnnnnnnA=A=四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A，例如矩阵000abcA=的转置矩阵000abcA=.由矩阵的定义，易得如下运算律：(1)()A=A;(2)()A+B=A+B;7(3)()A=A.同时可以证明(4)()AB=BA,()()nnA=A.事实上，设()ijmsaA=，()ijsnbB=，记()ijmncAB=C=，()ijnmdBA=D=,于是有1sjijkkikcab.而121211jssjijiisikijkjkkikkjsaadbbbbaaba，所以ijjidc(1,2,,;1,2,,)injm，即C=D，也就是()AB=BA.设A为n阶方阵，若A=A，即ijjiaa(,1,2,,)ijn，那么，A称为对称矩阵；若A=A,即ijjiaa(,1,2,,)ijn,那么，A称为反对称矩阵.易知，对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；而反对称矩阵的特点是：以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等，符号相反，且主对角线上各元素均为0.例6设112103121A=,112132B=,那么5610705AB=，111102231A=,123112B=,85100()675BA=AB.例7设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵.证因为A=A,B=B()()()AB+BAABBABA+AB()()()BAAB=AB+BA.所以结论成立.五、方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变)，称为方阵A的行列式，记作｜A｜或detA.设A,B为n阶方阵，为实数，则有下列等式成立(证明略)：(1)｜A′｜=｜A｜；(2)｜A｜=n｜A｜；(3)｜AB｜=｜A｜·｜B｜.若A为方阵，行列式｜A｜的各元素的代数余子式ijA亦可构成如下方阵：112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA=，称为A的伴随矩阵，由行列式按行(列)展开公式，可验证AA=AAAE.例8设A是n阶方阵，满足AA=E，且|A|=-1，求|A+E|.解由于()A+EA+AAAE+A()()AE+AE+AA+E,所以2|A+E|=0即|A+E|=0在讨论矩阵的性质时，我们经常要对一个矩阵进行变形，下面的初等变换就是一种常用的方法.定义7矩阵的初等行(列)变换是指：在矩阵中91.交换两行（列）的位置；2.把某一行（列）乘以一个非零常数；3.把某一行（列）的倍数加到另一行（列）.易见，矩阵的行列式计算只需把矩阵用初等行（列）变换化为上三角矩阵即可.§3矩阵的逆定义8设A为n阶方阵，若｜A｜=0，则称A为奇异矩阵；否则，A为非奇异矩阵.定义9对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B，满足AB=BA=E，则称方阵A可逆，且把方阵B称为A的逆矩阵.如果A是可逆的，则A的逆矩阵惟一.事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则一定有()()B=BEBAC=BAC=EC=C.A的逆矩阵记作1A，即若AB=BA=E,则B=1A.定理1设A是n阶方阵，A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的.证先证必要性.设A为非奇异矩阵，｜A｜≠0；设A的伴随矩阵为A，则有AA=AAAE.因｜A｜≠0，有11AA=AA=EAA.即知11A=AA，说明A是可逆的.下证充分性.由于A是可逆的，即有1A，使1AA=E,故｜1AA｜=｜E｜=1,有｜1A｜·｜A｜=1.所以｜A｜≠0，说明A是非奇异矩阵.设A,B均为同阶可逆方阵，数≠0，则有下列运算法则成立：(1)1A亦可逆，且(1()AA;(2)A亦可逆，且11()AA；(3)AB亦可逆，且1()ABBA.若A=B,则212()()AA，一般地有1()()nnAA.(4)A亦可逆，且1()()AA.10例9求方阵222123136A=的逆矩阵1A.解因为｜A｜=2≠0，所以1A存在，先求A的伴随矩阵A.1112133,3,1,A=AA2122236,10,4,A=AA3132332,4,2,A=AA3623104142A，13621131042142AA=A.例10设123221343A=，2153B=，132031C=，求矩阵X使满足AXB=C.解若1A、1B均存在，则用1A左乘上式，