线性代数 第四章 (1-2节)

1第四章线性方程组§1消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1解线性方程组1231231232233,2457,4771.xxxxxxxxx解将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得12323232233,684,35.xxxxxxx在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得1232332233,35,66.xxxxxx再回代,得321122x,x,x.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1）我们对方程施行了三种变换：①交换两个方程的位置；②用一个不等于0的数乘某个方程；③用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2）线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组211112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxb,axaxaxb,axaxaxb.则其系数矩阵是111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA增广矩阵是11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaabA显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2解线性方程组12312312311123533342523xxx,xxx,xxx.解增广矩阵是1111235133342523=A,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以12和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得315133301110214=A,在1A中将第二行乘以2加到第三行得25133301110012=A,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：123233533312xxx,xx,x.回代得321234x,x,x.§2线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxb,axaxaxb,axaxaxb,(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2设A是一个m行n列矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，通过矩阵的行初等变换能把A化为以下形式411121211000010000010000,rn,rnr,rrncccc,cc这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行行初等变换化为：11112122111000100010000,rn,rnr,rrnrrmccdccdccd.dd（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：11111122112211100,rrnn,rrnnrr,rrrnnrrmxcxcxd,xcxcxd,xcxcxdd,d（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.①若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.②若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3(线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同．．的秩．r.①当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；②当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.5线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：11111122211211,rrnn,rrnnrrr,rrmnxdcxcx,xdcxcx,xdcxcx.其中12rr,nx,x,x是自由未知量，若给一组数12nrl,l,,l就得到方程组的一组解111111222112111122,rnnr,rnnrrrr,rrnnrrrnnrxdclcl,xdclcl,xdclcl,xl,xl,xl.例3研究线性方程组1234123412341343124232233451xxxx,xxxx,xxxx,xxx解写出增广矩阵11311211423223310451.A对A进行初等行变换可化为11311017600000000002.由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ120010010050290025002502001007050631004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为1234x,x,x,x，由题意得方程组：123412341234123420010010050290050025020010070501004040201360400180160605500xxxxxxxxxxxxxxxx化简，得1234123412341234422581050421415226820983275xxxxxxxxxxxxxxxx写出增广矩阵4221581054214152216820983275对其进行初等行变换，化为100010010050010300012由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：123410532x,x,x,x.例5解线性方程组1234134123412342352222232829521xxxx,xxx,xxxx,xxxx.解这里的增广矩阵是123152022212328129521,7对其进行初等行变换，化为371002611010261130012600000.由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是1424343726112611326xx,xx,xx.把4x移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为1424347362116213162xx,xx,xx.给自由未知量一组固定值：40x，我们就得到方程组的一个解.123471130666x,x,x,x,事实上，在例5中，3x也可作为自由未知量.我们同样可考察12xx.