上海市闸北区风华中学高三上学期期中考试数学试卷-Word版含解析

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷一、填空题1．等差数列{an}中，a10=30，a20=50，则通项an=．2．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．3．若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有个．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=．5．关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为．6．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．7．数列{bn}中，b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），则b2016=．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是．9．已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得，则+的最小值为．10．定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是．二、选择题11．如图，集合A，B是全集U的两个子集，则图中阴影部分可表示为（）A．∁UA∪（A∩B）B．∁UA∩∁UBC．∁UA∪∁UBD．∁U（A∪B）∪（A∩B）12．已知，则的值为（）A．B．．C．．D．．13．等差数列{an}和等比数列{bn}的首项为相等的正数，若a2n+1=b2n+1，则an+1与bn+1的关系为（）A．an+1≥bn+1B．an+1＞bn+1C．an+1＜bn+1D．an+1≤bn+114．已知函数f（x）=，若g（x）=f﹣1（），则g（x）（）A．在（﹣1，+∞）上是增函数B．在（﹣1，+∞）上是减函数C．在（﹣∞，1）上是增函数D．在（﹣∞，1）上是减函数15．设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值为（）A．﹣1B．C．1D．三、解答题（本大题共有5题，共75分）16．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn+，则{an}的通项公式为．17．（14分）某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？18．（15分）已知f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a是常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的图象；（3）若x∈[﹣，]时，f（x）的最大值为1，求a的值．19．（16分）设a∈R，f（x）=为奇函数．（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．20．（16分）数列{an}的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6•pn．（1）当k=1，p=5时，若数列{an}成等比数列，求t的值；（2）设数列{an}是一个等比数列，求{an}的公比及t（用p、k的代数式表示）；（3）当k=1，t=1时，设Tn=a1+++…++，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{•Tn﹣﹣6n}是一个常数．2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•闸北区校级期中）等差数列{an}中，a10=30，a20=50，则通项an=2n+10．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a10=30，a20=50，∴a1+9d=30，a1+19d=50，联立解得a1=12，d=2．则通项an=12+2（n﹣1）=2n+10．故答案为：an=2n+10．故答案为：2n+10．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋•闸北区校级期中）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】先求出关于q成立的x的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：q：2x＞1⇔q：x＞0，又p：1＜x＜2，∴p是q充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．3．（2016秋•闸北区校级期中）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有128个．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；集合．【分析】先求出集合N，再求集合B的子集的个数．【解答】解：由集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，得集合N={0，6，14，21，4，9，49}，则集合N的子集有：2n=27=128个．故答案是：128．【点评】解答本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，真子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．4．（2005•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】常规题型；计算题；压轴题．【分析】先由f（x）是定义在R上的奇函数，结合对称性变形为，f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），再由f（0）=0求解．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：0【点评】本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．5．（2016秋•闸北区校级期中）关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为{x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}．【考点】函数与方程的综合运用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；转化法．【分析】利用同角三角函数关系式，将方程化简，转化为二次函数问题求解即可．【解答】解：方程﹣3cos2x+5sinx+1=0可化为：方程3sin2x+5sinx﹣2=0，解得：sinx=，或sinx=﹣2（舍去），∴x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}【点评】本题考查了同角三角函数关系式的转化和三角函数的特殊值的计算和二次方程的解法．属于基础题．6．（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．（2016秋•闸北区校级期中）数列{bn}中，b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），则b2016=﹣6．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），可得bn+6=bn，即可得出．【解答】解：∵b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），∴b3=4，b4=﹣1，b5=﹣5，b6=﹣4，b7=1，b8=5，…，∴bn+6=bn．则b2016=b335×6+6=b6=﹣4．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2016秋•闸北区校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是（1，）．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值可得sinB=cosA，sinC=1，进而利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简所求可得=sin（A+45°），结合范围A+45°∈（45°，135°），利用正弦函数的性质可求取值范围．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，∴==sinA+cosA=sin（A+45°），∵A∈（0°，90°），∴A+45°∈（45°，135°），∴sin（A+45°）∈（，1），∴=sin（A+45°）∈（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值，正弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．9．（2012•徐汇区一模）已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得，则+的最小值为．【考点】等比数列的性质；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可得a6q=a6+2，解得q=2．由可得m+n=5，再由m、n是正整数，求得+的最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由a7=a6+2a5，可得到a6q=a6+2，由于an＞0，所以上式两边除以a6得到q=1+，解得q=2或q=﹣1．因为各项全为正，所以q=2．由于存在两项am，an使得，所以，am•an=8，即•=8，∴qm+n﹣2=8，∴m+n=5．当m=1，n=4时，+=2；当m=2，n=3时，+=；当m=3，n=2时，+=；当m=4，n=1时，+=．故当m=2，n=3时，+取得最小值为，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．10．（2016秋•闸北区校级期中）定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是①③．