错误仅仅是粗心所致吗

1错误仅仅是粗心所致吗我们常常听到老师说：某某学生太粗心了，这么简单的题目又做错了。有时也会听到学生自己说：我又粗心了……诚然，由于儿童的注意力不能够长时间集中于一个问题，解题时间长了，就会出现注意力弥散的现象，从而导致错误。但很多时候，事实并非如此简单。下面的一项有关调研表明，学生的常见错误往往不是一个“粗心”可以蔽之。一、错误真的是源于“粗心”吗日常教学中有各种各样被冠以“粗心”的错误，我们选取“小数乘法”作为研究的载体，试做剖析。下面是我们编制的三道有关小数乘法的题目：测试题1：小明有7.5千克苹果，小华的苹果是小明的百分之三十二，小华有多少千克苹果？测试题2：20的十分之一是多少?测试题3：0.0906的百分之八是多少？测试题1的小数乘法使用了情境，测试题2和3是算术中常见的数量关系表达式，其中测试题2的两个数量中只有一个涉及小数，测试题3的两个数量均为小数。对于以上三道题目，正确解法均是使用小数乘法解决：即7.5×0.32、20×0.1和0.0906×0.08。我们选取了山东省枣庄市2所城市小学的147名学生作为被试（这两所小学在当地同类学校教学质量综合评估中排在第2、3位）。然而，调查结果表明，竟然有23位学生（约16％）对于这三道选择了除法！这个“常见”的错误，真的是学生的“粗心”所致吗？我们非常想了解貌似粗心的错误的背后，究竟是什么原因让学生选择了除法？二、错误是哪些原因导致的虽然这些学生用的都是除法，但在访谈中我们发现（I—访谈者；S—学生），学生选择除法的理由千差万别，揭示出导致同样错误的形形色色的原因。概括一下，有以下几种典型的原因。1、完全依赖句法结构中的关键字（1）没有“倍”字比如，学生S1给测试题1提供的答案是7.5÷0.32。I：你当时是怎样想的？乘法可以吗？S1：不可以，因为乘是多少“倍”。同样地，他把“0.0906的百分之八是多少”表征为0.0906÷0.08。该生总是通过找关键字来确定用什么运算。当找不到“倍”字的时候，就只好用除法了。（2）因为“的”字比如，学生S2给测试题2提供的答案是20÷0.1。S2：因为一个“的”字改变了整个式子，如果用乘法应该说“20里面有几个十分之一”（学生理解反了，这个倒应该用除法）。I：0.5的十分之四是多少？S2：就是0.5的0.4倍。I：如何列算式？2S2：0.5×0.4。我一般是看“的”，“倍”。I：20的十分之一也有“的”字。为何不用乘法？S：这个式子与上个不同。20的十分之一里有整数，0.5的十分之四里没有整数。学生通过“倍”、“的”等关键字来解决问题（其实还有很多类似的“关键字”），而不去理解乘除法的意义，而且数的大小与类型对学生选择运算也有影响①。以上枚举表明，学生常常根据一些关键字来决定用何种运算解题，这种完全依赖句法结构中表达所使用的字词的办法也被称为“直译策略”——在问题表达式中搜寻数量和关键字，然后据此设计解决方案②。2、整数除法的负迁移作用（1）转化为整数除法的表达式来理解比如，学生S3给测试题2提供的答案是20÷1.1（学生将十分之一误表示为1.1）。S3：20的十分之一就是把一个东西平均分成20份，取其中的十分之一。I：为什么用除法，为什么不用20乘1.1。S3：因为问的是20的十分之一是多少，也就是20里面有几个十分之一，所以用除法。学生S3试图把十分之一转化为整数除法来理解，但潜意识里把问题变成了“求20里面有多少个1.1”的表达形式、而不是“求20的十分之一是多少”，所以用除法。（2）转化为整数除法的过程来理解比如学生S4给测试题2提供的答案是20÷0.1。I：为什么是除法？S4：20的十分之一就是把20平均分成10份，取1份。十分之一不就是0.1吗。既然是平均分，所以是除以0.1。I：能解释得更清楚一些吗？S4：不是要平均分成10份吗，所以用除法。学生试图把涉及分数的题目转化为整数除法的过程来理解，然后根据“平均分”的意义，断定用除法。当然，平均分的情况下是用除法，而本题是“将20平均分成10份，然后取这10份中的1份”。也就是说，平均分结束后，并没有完，还要从中“取出相应的份数”。学生把分数的意义转化为整数除法的过程，但只关注了“平均分”，没有关注“取多少份”。再比如，学生S5给测试题1提供的答案是7.5－0.32。S5：7.5的百分之三十二，就是把7.5平均分成100份，从中取32份。取走32份，当然是减了。学生S5在把涉及分数或小数的题目转化为整数除法意义的过程中，又使用了搜寻关键字的策略，结果是不关注“平均分”、改而关注“取走多少份”中的关键字“取走”，“取走就是减”，产生了新的错误。（3）用整数除法的结果来理解比如，学生S6给测试题3提供的答案是0.0906÷0.08。I：说一说你这样做的理由是什么？S6：百分之八是0.08。I：为什么是除以？S6：因为是0.0906的百分之八是多少，所以用除以。I：用乘法可以吗？S6：不可以。越乘就越多了，所以用除，越除就越少了。百分之八不就少了吗？某某3的百分之八，不是倍数，是倍数就乘了。学生S6的想法是：既然是求0.0906的百分之八，所得到的结果一定要比0.0906小。而整数运算的经验告诉他“越乘越大，越除越少”，所以要用除法；再者，这道题里根本没有出现“倍”字，在句法结构中找关键字的策略，使他坚信要用除法。可见，学生的错误往往是多种原因造成。3、机械记忆、没有根据（1）死记硬背还有的学生是“根据老师讲的”，却记错了小数乘法的意义。比如，学生S7给测试题3提供的答案是0.0906÷0.08。S7：老师说了，一个数除以小数的意思是求这个数的几分之几是多少？I：你是根据老师讲的来做的？S7：是的……看来我错了。我记错了，应该是一个数乘小数是求这个数的几分之几是多少？应该用乘法。I：为什么是乘法。S7：老师讲的用乘法。我刚才记错了。（2）没有理由比如学生S8对于测试题3提供的答案是0.0906÷0.08。S8：0.0906的百分之八，百分之八是0.08。求0.0906的百分之八就是用0.0906除以0.08。I：还有其他的理由吗？S8：没有了。I：你能说一说一个数乘小数的意义吗？S8：不会。意义啦、法则啦，我从来不记的。学生不记忆法则、也不理解意义。这样导致的结果是“错了就错了”，而不知道为什么就错了。4、其他意外原因比如，学生S9给测试题3提供的答案是0.0906÷0.08。S9：我又错了。应该是0.0906×0.08。I：为什么又变成乘法了？S9：当时我发现了错误，想借同桌的橡皮用一用。同桌让我用除法，否则再也不给橡皮用了，我只好用（除法）了。这真是一个破天荒的理由，是别人让选的，否则将给以“再也不给橡皮用了”的惩罚。若非亲耳所听，亲眼所见，真不敢相信。三、错误发生的根本在哪里从上述对学生的访谈看来，通常我们所说的“学生马虎了，粗心了”往往是站不住脚的。这种错误不是表现为诸如把“23＋50误写成了32＋50”，而是对背后的概念不理解，“这种情况往往是由于缺乏概念性理解所致”③。“错误的回答通常不是粗心所致，也不是教师没有教过这方面的知识，或者缺乏对问题的思考。错误的回答常常有着理论的支撑。如果你想让学生修正并优化他们已知的，了解学生的理解就非常重要了”④。错误的发生不仅仅是“粗心”所致，根本原因是对于整数、小数、分数相关知识的认知结构不完善，缺乏概念性理解。另外，我们也应该看到，小数乘法的意义的确很不好理解。小数乘法的意义，依赖于4分数乘法的意义，其中分数的概念是一个难点，这已经被许多研究所证实。（1）分数作为一种“数”，其本身既表达一个绝对的量，又表示一个相对的量。如“厘米”，是一个绝对量，有实际的意义；另一方面，分数表示一个相对的量，如“”，是相对于哪一个整体的，并不明晰。（2）分数作为一个相对的量，其意义的表征模型既有离散的（从3个苹果中拿出1个，这是从整数概念中容易迁移的表征）、又有连续的（表示出一个圆、一条线段等分为3部分后的其中的1部分，这里被表征为三分之一单位，是学生学习的难点所在）。（3）分数作为一个概念，既表达动态的运算操作（过程性）又表达运算操作的结果（对象性）。如，既表达“把一堆东西分为三份、取其中的一份”这个操作过程又表达“一堆东西的三分之一”。由此可见，分数是绝对与相对、离散与连续、过程与对象的统一，给学生的学习带来了很大困难。正因如此，学生在阅读到涉及分数的各种题目时，并没有充分理解分数在其中所表达的意义，没有建立起相应的正确表征。换言之，分数概念在学生的认知结构中是模糊的、不清晰的。而描述认知结构优劣的主要标志包括“清晰性、差异性和可利用性”⑤。学生头脑中分数概念的模糊，导致了其认知结构的欠缺，导致了其认知结构可利用性的打折，从而就难以同化新的知识了。当学生不理解小数乘法的意义时，就只能从已经知道的整数知识中寻求帮助了，直接寻求帮助的结果是——寻求表面上相似的东西，而忽略结构上、本质上的差异，最终导致错误的理解。四、如何减少学生的错误如果学生对分数的意义和分数乘法的意义缺乏深刻的理解，特别地，如果学生对分数的直观表征和分数乘法的直观表征缺乏深刻的理解的话，对于小数乘法运算，就可能只是记住了或者只是会使用了法则，而对法则背后的东西比如运算的意义知之甚少。1、促进学生对分数概念的深刻理解Lesh等研究者认为，“所谓理解就是用现实情境、操作模型、直观图像、口头语言、书面符号来表征数学概念、并实现表征方式相互转化的能力”⑥。事实上，以上三道题目，主要测试学生将口头语言转化为书面符号的能力。在我们进行的另一个后续测试中，要求学生“先计算20的十分之一是多少，然后用画直观图的方式来说明运算结果是正确的”。结果只有19.5％的学生给出了正确的表征。如果我们承认，对小学生而言“纯粹抽象的事物是难以理解的，所谓理解基本上等同于建立直观形象”⑦，那么可以说，总体而言，学生对小数乘法意义的理解水平是比较低的。进而，要促进学生的理解，就要给学生提供足够的时间和空间，让他们用不同的表征方式来表征数学概念、数学运算，并能够实现这些表征方式之间的转化。正如顾泠沅教授所提倡的“换一种方式来检验所学的知识”⑧。2、调整小数乘法和分数乘法的教学顺序要想直观地理解小数乘法的意义（包括运算），只有学习了分数乘法后，才能获得。而分数乘法在后续的学习中才介绍，从理解的角度而言，这就“把马车放到了马的前面了”⑨。既没有对分数的充分理解，又没有分数运算的知识作为基础，对小数乘法就比较难以理解了。先于分数运算介绍小数乘法运算，就容易造成对小数乘法运算的不理解。既然不理解，那么，在特别强调“有理解地学习数学”⑩的今天，安排小数乘法意义这部分内容的合理性就值得怀疑了。我们的建议是，从促进学生的理解出发，应该对分数的意义有了比较充分的理解后再来介绍小数乘法。也就是说，在介绍小数乘法之前，应加强对分数概念的教学；或者说，先介绍分数乘法，然后再来学习小数乘法。这可作为对课程标准修订和教材编写的建议。53、避免让学生机械记忆“关键字”在访谈中许多学生使用了寻找“关键字”的方法，又使用了整数运算的规律，而唯独没有理解小数乘法的意义。这里，整数运算中寻找关键字的“负迁移作用”是导致学生错误的原因之一。我们认为，使用寻找关键字的策略，不失为帮助学生快速找到解决题目的好办法，但这样的办法应该建立在学生对其中分数概念所表征的意义全面理解的基础上，而非“刺激－反应”式的训练，避免学生“不求甚解、只求答案”式的机械运用。当学生出现错误时，看来不是一个“粗心”可以了结的，我们需要分析学生错误的原因，特别是要找到学生在概念性理解方面所存在的本质原因。通过促进学生的理解，优化学生的认知结构，来解决学生的“粗心”问题。如果总是认为错误是学生粗心所致，其结果恐怕不是学生粗心，而是我们教育工作者太粗心了。注释：①Hart,K.M.(1981).Children’sUnderstandingofMathematics:11-16.OxfordLondonandNorthampton:AldenPress.45.②⑤