基本不等式求最值

§3.4基本不等式基本不等式求最值一、知识梳理1.重要的不等式重要不等式应用条件“＝”何时取得作用变形abba2Rba,ba积和22baababba222Rba,ba积平方和222baab一.知识梳理1．运用不等式求一些最值问题．用a＋b≥2ab求最小值；用ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22求最大值．复习2、已知都是正数，（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值xyyxyx,yxP2yxyxxy241S3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题：(1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“”．一正、二定、三相等讲授新课：一、配凑法求最值讲授新课：一、配凑法求最值的最值，求是正数且：例abbaba4,1的最值，求是正数且：变形abbaba42,1424222baab解：当且仅当a=b=2时等号成立所以ab的最大值为422121221242222babaab解：当且仅当2a=b时等号成立，即a=1,b=2时ab的最大值为2例1的最值，求是正数且：变形abbaba42,282222242222babaab当且仅当a=时等号成立，即a=2,b=4时，ab的最大值为8.2b解:已知a0,b0,且bbaa2221,12求的最大值。变式3：[例2]（1）已知x2，求y=x＋4x－2的最小值；(2)已知,45x求函数,54124xxy的最大值。典例导悟(3)已知x3，则f(x)＝4x－3＋x的最大值是________．(1)∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以x＋4x－2的最小值为6.5331)3(233-x1)3-x(31y3x:xxxx　　　解415,33xxx当且仅当即时，函数有最大值，最大值为。1(3)3,,3xyxxx若函数当为何值时，函数有最值，并求其最值。题型二：拆项法求函数的最值2axbxcymxn二类型函数求最值题型探究例3(1)已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值54B．最小值54C．最大值1D．最小值1【解析】(1)由已知f(x)＝x2－4x＋52x－4＝x－22＋12x－2＝12[(x－2)＋1x－2]，∵x≥52，x－20，∴12[(x－2)＋1x－2]≥12·2x－2·1x－2＝1，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号．故f(x)的最小值为1，选D.（2）已知x－1，试求函数y＝x2＋7x＋10x＋1的最小值．解：y＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5，∵x－1，∴x＋10.∴y≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，函数取得最小值9，故函数的最小值为9.类型三：含两个变量的最值问题例4、（1）已知x，y∈(0，＋∞)，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值．解：x＋y＝(x＋y)(1x＋4y)＝1＋yx＋4xy＋4＝yx＋4xy＋5≥2·yx·4xy＋5＝9，当且仅当1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时，等号成立，故x＋y的最小值为9.类型三：含两个变量的最值问题例5（1)已知且，求的最小值.（2）已知正数满足，求的最小值.,0xy1xy,xy112xy2xyyx12(1)原式=))(12(yxyxxyyx23223（2）)11)(2(212yxyxyx)23(21yxxy223的最小值，求）已知（yxyxyx1112,0,02.223112211222231122222,0,0221221112的最小值为时等号成立。且即当且仅当解：yxyxyxxyyxyxxyyxxyyxyxxyyyxxyxyxyx类型三：含两个变量的最值问题例5、当0x1时，求的最小值xxy194解：因为x+(1-x)=1所以xxxxxxxxy1419941941.25194251213194521419121419214190110的最小值为时等号成立即当且仅当xxyxxyxxxxxxxxxxxxxxx3.已知:x∈(0,),则的最小值为____.解析x∈(0,),1-2x＞0,又2x+(1-2x)=1，原式可化为:21xx21922521)]21(2)[21924(xxxx.252118)21(22132118)21(213xxxxxxxx[例3]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____．类型三：含两个变量的最值问题[解]由ab＝a＋b＋3求出b，将ab转化为关于a的函数，再求范围．由已知，得b(a－1)＝a＋3，即b＝a＋3a－1由于a0，b0,所以a1，于是ab＝a·a＋3a－1＝[(a－1)＋1]·a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2a－1·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1(a1)，即a＝3时，等号成立，此时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．类型三：含两个变量的最值问题(,)3203271xyxyxyy当点在直线上移动时，求的最小值.33333332711123123173331173233,xyxyxyxyxyyxyxy解：当且仅当=即时取得等号此时最小值为变式训练利用基本不等式，整体解决3．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为()A．6B．42C．22D．8解析：2a＋2b≥22a＋b＝223＝42.答案：B看谁更聪明！的最小值。求其中已知yxyxyx,1,1,4)1)(1(23.,,,20,.yxyzxyzxz已知为正实数满足求的最小值22222min,,202244442448428xyzxyzxzyxzyxzxzxxzzxzxzzxxzzxxzyxz解：因为为正实数当且仅当时即时等号成立所以消元类型四：分子化为常数型，分母应用基本不等式1.求函数41622xxy的最大值3)1(164162222xxxxy解：131622xx3213122xx∵3326y22,131222xxxx即当且仅当时取得最大值2．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1解析：∵f(x)＝1x＋1x≤12x·1x＝12，当且仅当x＝1x即x＝1时等号成立．答案：B1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba(a0,b0)2abab3.利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。1、(1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)的最值和此时a、b的值..)21(,22,,222的最值是是正数bababa(2)作业：作业：2、(1)已知0＜x＜13，求函数y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x、y为正数，且满足2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．(2)设0x32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；19,1,xyRxyxy若且求的最小值。（4）作业：3、（1）若x3,求函数的最小值31xxy（2）已知x≥52，求f(x)＝x2－4x＋5x－2的最小值．)1(113)(2xxxxxf（3）求函数的最小值..24)(,22)4(baxfbaba和此时的的最值及求已知,0,xyRxyxyxy若且2求的最小值。4、作业：解：(1)∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112，当且仅当x＝16时，函数y＝x(1－3x)取得最大值112.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴1x＋1y＝(2x＋y)1x＋1y＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22(当且仅当yx＝2xy，即x＝2－22，y＝2－1时取等号)．∴1x＋1y的最小值为3＋22.（2）已知x≥52，求f(x)＝x2－4x＋5x－2的最小值．解：∵x≥52，∴x－20，∴f(x)＝x2－4x＋5x－2＝x－22＋1x－2＝(x－2)＋1x－2≥2.当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，ymin＝2.