第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论

1第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论§3.1黏性现象的宏观规律§3.2扩散现象的宏观规律§3.3热传导现象的宏观规律*§3.4辐射传热§3.6气体分子平均自由程*§3.7气体分子碰撞的概率分布§3.8气体输运系数的导出§3.9稀薄气体中的输运过程2§3.1黏性现象的宏观规律一、层流：流体在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅二、湍流：局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生三、混沌：在决定性的动力学系统中出现貌似随即性的宏稍有差别，流体不同质点的轨迹线不相互混。不规则脉动的流体。观现象。3四、稳恒层流中的黏性现象：凡是流体都有黏性气体：当气体各层流速不均匀时，产生黏性现象，直至各层均匀为止。设各层平面平行，气层整体作定向运动，流速各层不均匀。CzoBu0u=u(z)df’dfdAu=0由于流速不同，各层间发生相互作用—黏性力(内摩擦力)。力的作用效果：使流动慢层加快，快层减慢。4考察在z0处相邻两截面B、C(平行于流速)BC间距：Δz=z2－z1(流速为u1、u2，u2u1)定向流速差：Δu=u2－u1设定向流速由B处(u1)C处(u2)连续变化z0z1z2xyzou2u0u1用速度梯度：(速度随空间的变化率)zuzzuuzzz012120limlim120)(zdzduCBA5dzdu越大，气层的定向流速越不均匀，黏性现象越明显。实验结果：z0处平面A(⊥z轴)Adzduf牛顿黏性定律—黏度(黏性系数)：与气体性质和状态有关。由动量定理知：各层传递的动量黏性作用—B部动量减小，C部动量增大五、牛顿黏性定律：6六、切向动量流密度：1.定义：dtdp—动量流2.动量流密度：AdtdpJp1由Adzdufz0)(dtdpAJpdzduJp小结：黏性现象是由于气体内部速度不均匀引起的，用速度梯度描述其不均匀性，内部有动量的输运,直至各处速度均匀为止。xyz1v2v7七、泊肃叶定律：流体在管道内作匀速运动时，抵消黏性力靠管体积流率：dtdVLprdtdV84—泊肃叶定律八、斯托克斯定律：物体在黏性流体中运动时，需克服黏性阻力。vRf6球体所受的阻力：—斯托克斯定律子两端的压强差Δp。8§3.2扩散现象的宏观规律一、扩散现象的宏观规律：由于物质中粒子数密度不均匀引起的，内部有质量的输运(粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方)，直到各处数密度均匀为止。注意：现在讨论的扩散现象，只单纯由密度不同所致(排除p、V、T不同)。9二、菲克定律：实验结果：dzdnDdtdM质量沿n减小的方向输运D：扩散系数，与气体性质和状态有关。:dzdn分子数密度梯度质量密度：dzdAdZdDdtdM—菲克定律10§3.3热传导现象的宏观规律一、热传导现象的宏观规律：由于物质内部各处温度不均匀引起的内部有热量输运(热量从T较高处传到T较低处)，直至各处温度均匀为止。二、傅里叶定律：实验结果：AdzdTQ热量沿T减小的方向输运，κ：热传导系数，与气体性质和状态有关。:dzdT温度梯度dzdTJT—热流密度11§3.6气体分子平均自由程§3.6.1碰撞(散射)截面一、分子碰撞1.碰撞的微观机制(模型)无引力的刚球(除碰撞瞬间外)设分子有效直径为d,碰撞时假设某一分子静止(B),BA球从远处向B运动。Ab2.瞄准距离bb当b=0时，正碰当bd时，不碰当bd时，斜碰d12简化模型(1)无引力的刚球(除碰撞瞬间外)(2)分子有效直径为d(分子间距平均值)12v(3)其它分子皆静止,某一分子以平均速率相对其他分子运动···········A12v13分子相互作用时看着作用球：分子中心为球心，d为半径。分子碰撞截面：σ=πd2(分子散射截面)有效直径分别为d1、d2的两刚性球分子间的碰撞221)(41dd14§3.6.2分子间平均碰撞频率(从时间角度描述分子的碰撞频繁程度)一、定义：分子单位时间内与其他分子相碰撞平均次数。用Z表示，单位：(s-1)二、确定：Z“跟踪”分子A假设其他分子相对A静止，分子A以相对速率运动。···········A12v12v15以分子有效直径d为半径，沿分子运动轨迹作圆筒分子A具有碰撞截面：2d16Δt内分子A走过的距离为：tv12Δt内分子A扫过圆筒的体积为：tvd122(只有质心落入筒内分子才能与A分子相碰)设分子数密度为：n(n=kT/p)则圆筒内的分子数为：tvdn122A12v17tvdn122(圆筒内A与其他分子碰撞的次数)质心在圆筒内的分子单位时间内与其他分子相碰的频率为：ttvdnZ122122vdn12vn可以证明：vv212vnd22),,(2dnvvnZ2P例3.9mkTpZ4由,nkTpmkTv8得：18§3.6.4气体分子平均自由程(从空间的角度描述分子碰撞频繁程度)一、定义：自由程：分子连续两次碰撞之间通过的距离(λ)—偶然性平均自由程：分子在连续两次碰撞之间所通过的自由程的平均值。(自由程的平均值)用表示单位：(m)19Δt内速率为v的分子的平均路程为：tvΔt内平均路程中平均碰撞次数为：tZ由定义：tZtvZvnd221n21二、确定三、讨论：1.nd11,220从容器中向外抽气，使其中分子的平均自由程理论值大于容器的最大线度时，其中气体分子与分子之间是否发生碰撞？答：设容器线度为l，分子平均自由程的理论值为理论当l理论时，表明平均来说，分子尚未与其他分子碰撞，就要与器壁碰撞，因而从这个含义来说，实际上l就等于分子平均自由程即：l这并不说明分子与分子之间就不发生碰撞了。21(2)与12v(或)v无关(3)由p=nkT得：pdkT22T一定时，p1p一定时，T例1：试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程：(1)273K、1.013×105pa时；(2)273K、1.333×10-3pa时。(空气分子有效直径：)m1010.310d解：pdkT2π222例2:在恒压下，加热理想气体，则气体分子的平均碰撞频率和平均自由程将如何随温度变化而变化？怎样理解？解：(1)vndZ22将p=nkT及mkTv8代入得：m1071.8m10013.1)1010.3(π22731038.185210231m62.6m10333.1)1010.3(π22731038.1321023223mkTkTpdZ822Tp若p不变则：TZ1即，恒温下，加热理想气体T增高，由上式知气体分子的平均碰撞频率减小。理解：由于vnZ，p不变时，,1TnTv加热时,T增加则n减少,使分子碰撞机会减少；24而v增大会使分子碰撞机会增加；但由于n减少比v增大得快，所以Z将减少。(2)气体分子的平均自由程为：pdkT22pT当p不变加热时，T增加则增大。前面已经分析了在p不变时对气体加热，则气体分子平均碰撞频率将减小；那么这时气体分子平均自由程增大就很显然了。25例3：计算氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率Z和平均自由程，已知：氮气分子的有效直径为3.70×10–10m。解：(1)vndZ22mMRTv83102827331.88)(4531sm26(2)Zv91041.7453)(1011.68m(d的230倍)4531069.2)1070.3(14.322523Z)(1041.719s(空气：每秒钟碰65亿次)在标准状态下，任何气体分子的数密度：32501069.2mn27§3.8气体输运系数的导出1.定性的微观解释当气体流动时，每个分子有动量1.热运动动量2.定向运动动量muxvm(无规则)(由气层流速定向确定)所有分子整体1.热运动动量平均值为零2.定向运动动量的平均值为mux∴只需考虑定向流速如何输运？一、气体的黏性系数：§3.8.1气体黏性系数导出28由于气体分子无规则运动和碰撞，B、C两层交换分子，总的效果：B层动量增大，C层动量减少，宏观上表现为互施黏性力。∴宏观黏性现象实际上是微观分子无规则运动通过碰撞交换定向动量的结果。z0z1z2CBxyzoΔAB层(mu2)C层(mu1)29B层：分子穿过ds面进入C层，通过碰撞交换(mu2－mu1)动量给C层，使C层的动量增加(mu2－mu1)。C层：分子从C→B,使B层动量减少(mu2－mu1)。总体形成沿Z轴自上而下的动量输运，宏观上表现为互施黏性力。z0z1z2CBxyzoΔA黏性现象的本质：由于气层流速不均匀而引起的分子定向运动的动量输运。30OxyzΔAtvabedf2.定量计算(1)简化处理：a.沿三坐标正、负运动的分子的概率相等—等概率原理；∴沿Z轴上或下穿过ds的分子数为1/6b.无规则运动平均速率v相同；c.分子数密度均匀(不计外力场的影响)；d.同化假设。Δt时间内穿过ΔA的平均分子数为tAvn6131(2)推导：a.求Δt内ΔA面交换的分子数以ΔA为截面积，tv为高，取柱体z0z1z2CBxyzoΔAtv柱体体积：tAv柱体内分子数：tAvnb.Δt内B、C交换一对分子的动量：dk=C层分子定向动量－B层分子定向动量=mux1－mux232z0z1z2CBxyzoΔAdtv根据同化假设：B、C交换的分子都具有过ΔA前最后一次受碰处的定向动量。考虑与ΔA面z0处上、下相距处层：)()(00zmuzmudkxx交换一对分子的动量：c.Δt内交换ΔN对分子输运的动量：[净动量输运]tAzmuzmuvnxx)]()([610033将上式除以Δt得切应力，即为黏性力。Azuzumvnfxx)]()([6100Z=Z0处的速度梯度为：0)(zxzu由梯度的定义：)()()()(0000ZZzuzuxx0)(zxzu代入f2)()(00zuzuxx0)(2)()(00zxxxzuzuzuAzumvnfzx])(2[610与实验规律比较vnm31(ρ、—气体性质，(T)—气体状态)v34vnm31v31)(nm二、讨论：1.η与n无关：n21将代入η得23vm2.η仅是温度的函数：将mkTv8代入η得2132Tkm21T由上式可以测定气体分子碰撞截面及气体分子的有效直径。35§3.8.2气体热传导系数与扩散系数一、气体的热传导系数：mmVMCv,31二、气体的扩散系数：21,32TMCkmmmVvD3136三、总结：三种输运过程的共性1.宏观角度：(1)发生的原因：气体内存在某种不均匀性引起(2)为了描述不均匀性：用梯度描述(3)输运方向：沿负梯度方向输运(4)输运结果：都由不均匀性趋于均匀不同点：三种输运过程输运的内容不同37(2)分子间的碰撞：一方面阻碍“搅拌”另一方面使被掺合分子“同化”阻碍“搅拌”作用输运过程的统计解释：分子热运动与碰撞的结果就改变了气体物理量在各部分的统计分布，即引起了宏观量的输运。2.微观角度：决定输运过程的因素相同。(1)大量分子的热运动：取“搅拌机”的作用(各部分的分子的相互掺合)38稀薄气体压强(真空度)p10-1pa—低真空p在10-1∽10-6pa—高真空p10-6pa—超高真空目前达到的真空度：10–11pa2.黏性现象和热传导现象：由pdkT22得：p↓→n↓→↑—ηκ与p有关p↓↓→lη、κ与p无关五、稀薄气体的黏性现象和热传导现象：1.稀薄气体：当容器线度l时—真空—稀薄气体(低压气体)39例：两平行平板容器间的分子p↓→n↓→参与输运能量的分子数减