高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式极限的概念当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x0（x→x0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x0时，以常数A为极限，记作：limxf(x)=A或lim0xxf(x)=A导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx＝x-x0，函数有增量Δy=f(x)-f(x0)，如果增量比xy当Δx→0时有极限，则称函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f’(x0)，即f’(x0)＝lim0xxy=lim0xx00)()(xxxfxf也可以记为y’=|x=x0，dxdy|x=x0或dxxdf)(|x=x0函数的微分概念设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+Δx都在此区间内，如果函数的增量Δy=f（x+Δx）-f(x)可表示成Δy=AΔx+αΔx其中A是常数或只是x的函数，而与Δx无关，α当Δx→0时是无穷小量(即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而AΔx叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即：dy=AΔx=f’(x)dx不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作dxxf)(求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。定积分的概念设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，用分点a=x0x1x2…xi-1xi…xn-1xn=b，把区间[a，b]任意分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1,2,…,n）每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1（i=1,2,…,n），在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作和式In=niiixf1)(当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δxi}→0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作badxxf)(，即badxxf)(=niiinxf1)0()(lim其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间[a，b]叫积分区间，x为积分变量。极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，则称f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1xf就为无穷大。极限运算法则：法则1：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B法则2：lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B特别的：limcf(x)=c·limf(x)=c·A(c为常数)法则3：lim)()(xgxf=)(lim)(limxgxf=BA（其中B≠0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限1：xxxsinlim0=1==》()sin()lim0()=1重要极限2：limx(1+x1)x=e=》lim()(1+()1)（）=e或lim0()（）＋（）1)1(=e等价无穷小(x→0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sin~xx；tan~xx；arcsin~xx；arctan~xx；ln(1)~xx；1~xex；1cos~x212x；11~x12x；1~xalnxa.导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x0的某邻域内有定义，当x→x0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即lim0xxf(x)=f(x0)则称函数在x0处是连续的。连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导)导数的计算步骤(按定义计算)：第一步求增量，在x处给自变量增量Δx，计算函数增量Δy，即Δy=f(x+Δx)-f(x)；第二步算比值，写出并化简比式：xyΔΔ=xxxfΔΔ)(f-)x(＋；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx项，避免出现00或)第三步取极限，计算极限lim0xxyΔΔ=f’(x)常用基本初等函数的导数公式：/x1x；/xalnxaa；/xexe；/logax1lnxa；/lnx1x；/sinxcosx；/cosxsinx；/tanx2secx；/cotx2cscx；/secxsectanxx；/cscxcsccotxx；/arcsinx211x；/arccosx211x；/arctanx211x；/arccotx211x导数的四则运算法则：设u=u(x)，v=v(x)，则（u±v）’=u’±v’；（cu）’=cu’；（uv）’=u’v+uv’；（vu）’=2''vuvvu.反函数的导数：y=f(x)是x=φ(y)的反函数，则y’='1x，即f’(x)=)(1y‘φ复合函数求导法则:设y=f(u),u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dxdy=dudydxdu或y’x=f’u·φ’x隐函数求导方法：隐函数的概念针对因变量y写成自变量x的明显表达式的函数y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量x和y的对应关系是由一个方程F(x,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y看成中间变量y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y对x的导数。例：求方程x2+y2=1所确定的函数的导数。解在方程的两端对x求导，并将y2看作x的复合函数，则(x2+y2)’=(1)’即2x+2yy’=0，yy’=-x得y’=-yx参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t为参数x=φ(t)y=ψ(t)设函数φ(t)和ψ(t)都可导，且函数φ(t)存在连续反函数t=φ-1(t)，当φ-1(t)≠0时，这个反函数也可导；这时y是x的复合函数y=ψ[φ-1(t)]=f(x)它可导，由复合函数求导法则知y’x=dxdy=dtdydxdt=dtdxdtdy=)(')('xxφψ罗必塔法则：当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式)()(xgxf的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未定式，并记作00型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。未定式00(罗必塔法则一)：lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A(或无穷大)。若其中x→∞时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式(罗必塔法则二)：lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A(或无穷大)。若其中x→∞时，结论也成立。未定式0·∞型及∞-∞型：这两类未定式可转化为00型或型。未定式00,∞0,1∞型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。微分的运算及法则由微分的的概念dy=f’(x)dx可知，求一个函数的微分，只要求出导数f’(x)再乘以dx就得到微分dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于y=sinx，有y’=cosx，从而dy=cosxdx。微分的法则：设u=u(x)，v=v(x)，则d(cu)=cdu；d(u±v)=du±dv；d(uv)=udv+vdu；d(vu)=2vudvvdu不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一：[dxxf)(]’=f(x)或d[dxxf)(]=f(x)dx；性质二：dxxF)('=F(x)+c；性质三：dxxkf)(=kdxxf)((k是不为0的常数)；性质四：dxxgxf)]()([=dxxf)(±dxxg)(。不定积分的基本公式(均应加上常数C)：dx0=c；kdxkx；xdx11x；dxxlnx；xedxxe；xadxlnxaa；cosxdxsinxsinxdxcosx；tanxdxlncosx；cotxdxlnsinx；secxdxlnsectanxx；cscxdxlncsccotxx2secxdxtanx；2ccsxdxcotx；sectanxxdxsecx；csccotxxdxcscx；21dxxarctanx；21dxxarcsinx；221dxxa1arctanxaa；221dxxa1ln2xaaxa；221dxxa22lnxxa；221dxaxarcsinxa。第一换元积分法：设函数u=φ(x)，且f(u)有原函数F(u)，∴du=φ’(x)dx(即dx=du/φ’(x))《=参见微分概念及计算∴dxxxf)(')]([φφ=duuf)(=F(u)+c=F[φ(x)]+c注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有φ’(x)，方可在换元时代入dx=du/φ’(x)并约去φ’(x)。提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=φ(x)，将函数转化为关于u的积分公式，再求出关于u原函数，最后根据u与x的关系代入x。第二换元积分法：设函数x=φ(t)单调可微且φ’(t)≠0，∴dx=φ’(t)dt《=参见微分概念及计算∴dxxf)(=dtttf)(')]([φφ=F(t)+c=F[φ-1(x)]+c提示：该积分法的步骤是先找出适当的x=φ(t)，将函数转化为关于t的积分公式，再求出关于t原函数，最后根据x与t的关系代入x。分部积分法：设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则dxuv'=uv-dxvu'《=解题时这个为u不行就换那个为u提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分dxuv'转化为易求的不定积分dxvu'，从而得所求结果。定积分的性质及计算方法：性质一：badxxkf)(=kbadxxf)(（k为常数）；性质二：badx=b-a；性质三：badxxgxf)]()([=badxxf)(±badxxg)(；性质四：若把区间[a，b]分为两个区间[a，c]与[c，b]，则badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(注意：c有任意性，可在[a，b]之外；性质五：若f(x)与g(x)在[a,b]上有f(x)≤g(x)，则badxxf)(≤badxxg)(；性质六：若M，m分