三角函数加减公式

第1页三角函数加减公式诱导公式：一、常用的诱导公式有以下几组：公式一：设𝛼为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2𝑘𝜋+𝛼)=sin𝛼cos(2𝑘𝜋+𝛼)=cos𝛼tan(2𝑘𝜋+𝛼)=tan𝛼cot(2𝑘𝜋+𝛼)=cot𝛼公式二：设𝛼为任意角，π+𝛼的三角函数值与𝛼的三角函数值之间的关系：sin(𝜋+𝛼)=−sin𝛼cos(𝜋+𝛼)=−cos𝛼tan(𝜋+𝛼)=tan𝛼cot(𝜋+𝛼)=cot𝛼公式三：任意角𝛼与−𝛼的三角函数值之间的关系：sin(−𝛼)=−sin𝛼cos(−𝛼)=cos𝛼tan(−𝛼)=−tan𝛼cot(−𝛼)=−cot𝛼公式四：利用公式二和公式三可以得到π−𝛼与𝛼的三角函数值之间的关系：sin(𝜋−𝛼)=sin𝛼cos(𝜋−𝛼)=−cos𝛼tan(𝜋−𝛼)=−tan𝛼cot(𝜋−𝛼)=−cot𝛼公式五：利用公式一和公式三可以得到2π−𝛼与𝛼的三角函数值之间的关系：sin(2𝜋−𝛼)=−sin𝛼cos(2𝜋−𝛼)=cos𝛼tan(2𝜋−𝛼)=−tan𝛼cot(2𝜋−𝛼)=−cot𝛼公式六：π2±𝛼与𝛼的三角函数值之间的关系：sin(π2+𝛼)=cos𝛼cos(π2+𝛼)=−sin𝛼tan(π2+𝛼)=−cot𝛼第2页cot(π2+𝛼)=−tan𝛼sin(π2−𝛼)=cos𝛼cos(π2−𝛼)=sin𝛼tan(π2−𝛼)=cot𝛼cot(π2−𝛼)=tan𝛼二、诱导公式记忆口诀：（规律总结）上面这些诱导公式可以概括为：对于k∙𝜋2±𝛼(𝑘∈𝑍)的三角函数值，1)k是偶数时，得到𝛼的同名函数值，即函数名不改变；2)当k是奇数时，得到𝛼相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot；cot→tan；（奇变偶不变）然后在前面加上把𝛼看成锐角时原函数值的符号（符号看象限）。例如：sin(2𝜋−𝛼)=sin(4∙π2−𝛼)，k=4为偶数，所以取sin𝛼，当𝛼是锐角时，2π−α∈(270°,360°)，sin(2𝜋−𝛼)0，符号为“－”。所以sin(2𝜋−𝛼)=−sin𝛼上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把𝛼视为锐角时，角𝑘∙360°+𝛼(𝑘∈𝑍)，−𝛼、180°±𝛼、360°−𝛼所在象限的原三角函数值的符号可记忆为：水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀，一全正，二正弦，三正切，四余弦其他三角函数知识：一、同角三角函数基本关系：同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan𝛼∙cot𝛼=1sin𝛼∙csc𝛼=1cos𝛼∙sec𝛼=1第3页商的关系：sin𝛼cos𝛼=tan𝛼=sec𝛼csc𝛼cos𝛼sin𝛼=cot𝛼=csc𝛼sec𝛼平方关系：sin2𝛼+cos2𝛼=11+tan2𝛼=sec2𝛼1+cot2𝛼=csc2𝛼同角三角函数关系六角形记忆法：构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。二、两角和差公式：两角和与差的三角函数公式：sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽sin(𝛼−𝛽)=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽cos(𝛼+𝛽)=cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽tan(𝛼+𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼∙𝑡𝑎𝑛𝛽tan(𝛼−𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼∙𝑡𝑎𝑛𝛽三、倍角公式：二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）：sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼=cos2𝛼−sin2𝛼=2cos2𝛼−1=1−2sin2𝛼tan2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼四、半角公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）：𝑠𝑖𝑛2𝛼2=1−cos𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼2=1+cos𝛼2𝑡𝑎𝑛2𝛼2=1−cos𝛼1+cos𝛼第4页五、万能公式：sin𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛2𝛼2cos𝛼=1−𝑡𝑎𝑛2𝛼21+𝑡𝑎𝑛2𝛼2tan𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼21−𝑡𝑎𝑛2𝛼2万能公式推导：𝑠𝑖𝑛2𝛼=2sin𝛼cos𝛼=2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+sin2𝛼（因为cos2𝛼+sin2𝛼=1）再把分式上下同除cos2𝛼，可得𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼1+𝑡𝑎𝑛2𝛼然后用𝛼2代替𝛼即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。六、三倍角公式：三倍角的正弦、余弦和正切公式：𝑠𝑖𝑛3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼=𝑠𝑖𝑛2𝛼cos𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼sin𝛼𝑐𝑜𝑠3𝛼=4cos3𝛼−3cos𝛼=𝑐𝑜𝑠2𝛼cos𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼sin𝛼𝑡𝑎𝑛3𝛼=3𝑡𝑎𝑛𝛼−tan3𝛼1−3𝑡𝑎𝑛2𝛼三倍角公式推导：𝑠𝑖𝑛3𝛼=sin(2𝛼+𝛼)=𝑠𝑖𝑛2𝛼cos𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼sin𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼cos2𝛼+(1−2sin2𝛼)sin𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼−2sin3𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼−2sin3𝛼=3𝑠𝑖𝑛𝛼−4sin3𝛼𝑐𝑜𝑠3𝛼=cos(2𝛼+𝛼)=𝑐𝑜𝑠2𝛼cos𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼sin𝛼=(2cos2𝛼−1)cos𝛼−2cos𝛼sin2𝛼=2cos3𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼−2𝑐𝑜𝑠𝛼+2cos3𝛼=4cos3𝛼−3𝑐𝑜𝑠𝛼即：𝑠𝑖𝑛3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼𝑐𝑜𝑠3𝛼=4cos3𝛼−3cos𝛼第5页𝑡𝑎𝑛3𝛼=𝑠𝑖𝑛3𝛼𝑐𝑜𝑠3𝛼=𝑠𝑖𝑛2𝛼cos𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼sin𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼cos𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼sin𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼cos2𝛼+cos2𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼−sin3𝛼cos3𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼sin2𝛼−2𝑠𝑖𝑛2𝛼cos𝛼上下同除以cos3𝛼，得：𝑡𝑎𝑛3𝛼=3𝑡𝑎𝑛𝛼−tan3𝛼1−3𝑡𝑎𝑛2𝛼三倍角公式联想记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。七、和差化积公式：三角函数的和差化积公式：sin𝛼+sin𝛽=2sin𝛼+𝛽2∙cos𝛼−𝛽2sin𝛼−sin𝛽=2cos𝛼+𝛽2∙sin𝛼−𝛽2cos𝛼+cos𝛽=2cos𝛼+𝛽2∙cos𝛼−𝛽2cos𝛼−cos𝛽=−2sin𝛼+𝛽2∙sin𝛼−𝛽2tan𝛼+tan𝛽=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼cos𝛽tan𝛼−tan𝛽=sin(𝛼−𝛽)cos𝛼cos𝛽cot𝛼+cot𝛽=sin(𝛼+𝛽)sin𝛼sin𝛽cot𝛼−cot𝛽=−sin(𝛼−𝛽)sin𝛼sin𝛽tan𝛼+cot𝛽=cos(𝛼−𝛽)cos𝛼sin𝛽tan𝛼−cot𝛽=−cos(𝛼+𝛽)cos𝛼sin𝛽八、积化和差公式：三角函数的积化和差公式：sin𝛼∙cos𝛽=0.5[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]cos𝛼∙sin𝛽=0.5[sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)]cos𝛼∙cos𝛽=0.5[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]sin𝛼∙sin𝛽=−0.5[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]第6页和差化积公式推导：首先，我们知道sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼∙cos𝛽+cos𝛼∙sin𝛽sin(𝛼−𝛽)=sin𝛼∙cos𝛽−cos𝛼∙sin𝛽我们把两式相加就得到sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)=2sin𝛼∙cos𝛽所以，sin𝛼∙cos𝛽=[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]÷2同理，若把两式相减，就得到cos𝛼∙sin𝛽=[sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)]÷2同样的，我们还知道cos(𝛼+𝛽)=cos𝛼∙cos𝛽−sin𝛼∙sin𝛽cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼∙cos𝛽+sin𝛼∙sin𝛽所以，把两式相加，我们就可以得到cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=2cos𝛼∙cos𝛽所以我们就得到，cos𝛼∙cos𝛽=[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]÷2同理，两式相减我们就得到sin𝛼∙sin𝛽=−[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]÷2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sin𝛼∙cos𝛽=[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]÷2cos𝛼∙sin𝛽=[sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)]÷2cos𝛼∙cos𝛽=[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]÷2sin𝛼∙sin𝛽=−[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]÷2有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。我们把上述四个公式中的𝛼+𝛽设为𝑥，𝛼−𝛽设为𝑦，那么𝛼=𝑥+𝑦2，𝛽=𝑥−𝑦2把𝛼，𝛽分别用𝑥，𝑦表示就可以得到和差化积的四个公式：sin𝑥+sin𝑦=2sin𝑥+𝑦2∙cos𝑥−𝑦2sin𝑥−sin𝑦=2cos𝑥+𝑦2∙sin𝑥−𝑦2cos𝑥+cos𝑦=2cos𝑥+𝑦2∙cos𝑥−𝑦2cos𝑥−cos𝑦=−2sin𝑥+𝑦2∙sin𝑥−𝑦2