3-1正交小波多分辨分析

WaveletsandFilterBanks信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地小波与多分辨分析尺度函数的MRA方程多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)小波函数的MRA方程正交小波变换与多分辨分析正交小波与滤波器组离散小波变换小波与多分辨分析定义:多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis，MRA)1)存在一组嵌套的子空间，满足V0V1V2V3L2V{0}=2)尺度不变性x(t)Vjx(2t)Vj+13)位移不变性x(t)V0x(tk)V04)存在尺度函数(scalingfunction)f(t)，使得{f(tk)；kZ}是V0的一个规范正交基。由以上性质可得：{fj,k(t)=2j/2f(2jtk)；kZ}是Vj规范正交基尺度函数与多分辨分析小波与多分辨分析V0V1V2V3V0V1V2V3L2多分辨分析空间嵌套关系示意图尺度函数与多分辨分析例：Haar多分辨分析(分段常数函数构成的MRA)V0:在区间上[k,k+1),kZ分段常数函数构成的构成的空间V1:在区间上[k/2,(k+1)/2),kZ分段常数函数构成的构成的空间V2:在区间上[k/22,(k+1)/22),kZ分段常数函数构成的构成的空间Vj:在区间上[k/2j,(k+1)/2j),kZ分段常数函数构成的构成的空间V0的一个规范正交基为{fH(tk)；kZ}为其他0101)(Httf称fH(t)为Haar尺度函数。{fj,k(t)=2j/2f(2jtk)；kZ}是Vj规范正交基小波与多分辨分析尺度函数与多分辨分析信号在嵌套子空间Vj中的正交投影：对任意x(t)L2，由于{f1,k(t)=21/2f(2tk)；kZ}是V1规范正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示为111,()[]()kkytaktf11,[](),()kakxttf一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示为,()[]()jjjkkytaktf,[](),()jjkakxttf例：Haar多分辨分析函数x(t)在子空间V0和V1在的正交投影小波与多分辨分析()[]2(2)nthntnffh[n]:尺度函数系数(scalingfunctioncoefficient)，也称为尺度滤波器(scalingfilter)。尺度函数f(t)的MRA方程尺度函数与多分辨分析f(t)V0f(t)V1由{f1,k(t)kZ}的正交性可得1,[](),()()2(2)dkhkttttktffffscalingequationdilationequationrefinementequation例：试求Haar多分辨分析系统中的h[k]。解：H1,HH[](),()()2(2)dkhkttttktfffffH(t)t101t1/2021/221/2fH(2t)t1/2021/2121/2fH(2t1)[0]h[1]h)12()2()(HHHtttffft1011/2fH(t)fH(2t)fH(2t1)21/21/()[]2(2)nthntnff小波与多分辨分析小波函数与正交补空间由于V0V1，定义空间V0在V1中的正交补空间为W0，即V1=V0W0V0W0V1对给定的多分辨分析系统，则存在小波函数y(t)，使得{y(tk);kZ}是W0的正交基。一般地，空间Vj在Vj+1中的正交补空间为Wj，即Vj+1=VjWj{yj,k(t)=2j/2y(2jtk)；kZ}是Wj的正交基。例：试求Haar多分辨分析中的小波函数yH(t)。解：由定义可知V1=W0V0所以yH(t)V1，即yH(t)在区间[0,1/2]，[1/2,1]必须是常数。又由于yH(t)必须与V0正交，所以yH(t)的一个解为其他012/112/101)(HtttyyH(t)t101/211小波与多分辨分析小波函数与正交补空间小波函数y(t)的MRA方程V1=W0V0W0V1y(t)W0V1y(t)可用V1空间的正交基{f1,k(t);kZ}表示为()[]2(2)ktgktkyfg[k]称为小波函数系数(waveletfunctioncoefficient)。由{f1,k(t)kZ}的正交性可得1,[](),()()2(2)dkgkttttktyyyf例：试求Haar多分辨分析系统中的g[k]。解：[]()2(2)dgkttktyt1/2021/221/2fH(2t)()[]2(2)ktgktkyft1/2021/2121/2fH(2t1)yH(t)t101/211[0]g[1]g)()()(HHH122tttffy[](1)[1]kgkhkh[k]与g[k]的关系为(1)[]khmk21/21/例：Lazy小波0t1V0空间的一个样本V0:span{d(t-k)}0t1/2V1空间的一个样本V1:span{d(t-k/2)}0t1/2()(1/2)ttyd(1)tyW0空间的一个样本W0:span{d(t-1/2-k)}由图可见V1=W0V0例：Lazy小波0t1V0空间的一个样本V0:span{d(t-k)}0t1/2V1空间的一个样本V1:span{d(t-k/2)}0t1/2()(1/2)ttyd(1)tyW0空间的一个样本W0:span{d(t-1/2-k)}尺度函数f(t)的MRA方程()[]2(2)kthktkdd[][]hkkd例：Lazy小波0t1V0空间的一个样本V0:span{d(t-k)}0t1/2V1空间的一个样本V1:span{d(t-k/2)}0t1/2()(1/2)ttyd(1)tyW0空间的一个样本W0:span{d(t-1/2-k)}小波函数y(t)的MRA方程(1/2)[]2(2)ktgktkdd[][1]gkkd例：Lazy小波显然h和g满足正交滤波器组条件[][2][]nhnhnkkd[][2]0nhngnk1()()1HzHz1()()GzGzz2222z1zLazy小波的分解重建框图小波与多分辨分析正交小波与滤波器组命题:若尺度函数f(t)的MRA方程成立，且()d0ttf则尺度函数系数h[k]需满足[]2khk证:由尺度函数f(t)的MRA方程有()[]2(2)kthktkff对上式两边积分，即可得[]2khk小波与多分辨分析命题:若尺度函数{f(tk);kZ}正交，即][d)()(ktkttdff则尺度函数系数h[k]满足[][2][]nhnhnkkd推论:11[][2][]()()()()2nhnhnkkHzHzHzHzd正交小波与滤波器组证明由尺度函数f(t)的MRA方程()[]2(2)nthntnff[]()2(2)dhkttktff[]()()dkttktdff[]2(22)()dnhntknttff[][2]nhnhnk][d)()(ktkttdff[][2][]nhnhnkkd小波与多分辨分析命题:若则小波函数系数g[k]需满足0ttd)(y[]0kgk证：由小波函数的MRA方程()[]2(2)ktgktkyf对上式两边积分即得。正交小波与滤波器组小波与多分辨分析命题:若尺度函数f(t)与{y(tk);kZ}正交，即0tkttd)()(yf则[2][]0nhnkgn证：由尺度和小波函数的MRA方程[]()2(2)dhkttktff()[]2(2)ktgktkyf0()()dttktfy[]()2(22)dngnttkntff[][2]ngnhnk正交小波与滤波器组小波与多分辨分析推论:11[][2]0()()()()0ngnhnkGzHzGzHz若取1()()mGzzHzm为奇数11()()()()GzHzGzHz1111()()()()mmzHzHzzHzHz0正交小波与滤波器组小波与多分辨分析命题:若小波函数{y(tk);kZ}正交，即][d)()(ktkttdyy则小波函数系数g[k]满足[][2][]ngngnkkd证：小波函数y(t)的MRA方程()[]2(2)ntgntnyf[]()2(2)dgkttktyf[]()()dkttktdyy()[]2(22)dntgntkntyf[]()2(22)dngnttkntyf[][2]ngngnk正交小波与滤波器组小波与多分辨分析离散小波变换若x(t)V2，则有V2=W1V1=W1W0V0所以{f0,k(t)，y0,k(t)，y1,k(t);kZ}构成了空间V2的一个正交基，x(t)可表示为00,00,11,()[]()[]()[]()kkkkkkxtaktdktdktfyy00,[](),()kakxtt)(),(][,ttxkdkjjy小波与多分辨分析一般地，若x(t)L2，则有L2=V0W0W1W2{f0,k(t),y0,k(t),y1,k(t),y2,k(t)，;kZ}构成了空间L2的一个正交基，00,,0()[]()[]()kjjkkjkxtaktdktfy其中)(),(][,ttxkdkjjy00,[](),()kakxttf离散小波变换