三角形的两条角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系

三角形的两条角平分线的夹角(之一)与第三个角之间的数量关系：河南淇县五中王永普１、当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；２、当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；３、当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；例1、如图，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A。解：∵BD、CD为角平分线∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ＝21∠ＡＣＢ。在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）＝１８０°－21（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21×１８０°＋21∠Ａ＝９０°＋21∠Ａ例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A。解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线∴∠CBD=21∠ＣＢＥ∠ＢＣＤ＝21∠ＢＣＦ又∵∠ＣＢＥ、∠ＢＣＤ为△ＡＢＣ的外角∴∠ＣＢＥ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ∠ＢＣＦ＝∠Ａ＋∠ＡＢＣ∴∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ＋∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝∠Ａ＋１８０°在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）＝１８０°－（21∠ＣＢＥ＋21∠ＢＣＦ）＝１８０°－21（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ）＝１８０°－21（∠Ａ＋１８０）＝９０°－21∠A例３：如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ为∠ＡＢＣ的平分线，ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线，试说明：∠Ｄ＝21∠Ａ；解：∵ＢＤ为角平分线，∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＢＣ，又∵ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线∴∠ＤＣＥ=21∠ＡＣE，而∠ＤCE为△BCＤ的一个外角∴∠ＤCE=∠Ｄ+∠ＤＢＣ，即∠Ｄ＝∠ＤCE－∠ＤＢＣ∴∠Ｄ＝21∠ＡＣE－21∠ＡＢＣ＝21（∠ＡＣE－∠ＡＢＣ）＝21∠Ａ。