数学建模：基于日照约束下的楼房建筑空间布局的设计

基于遗传算法下的建筑采光分析摘要：本文主要研究建筑日照分析及最大容积率的问题。通过选择平面布局优化方案，结合经验建筑师布局经验，通过遗传算法求得最优规划建设方案。针对第一题：首先平面布局优化方案选择中精简楼房复杂度，根据问题要求不同规格的楼房数量列出不等式组，结合二、三问求解得：面积140平米以上套房为69套，120平米套房72套。针对第二题：为了不重复讨论，一、二题我们放在了一起求解整数线性不等式方程组，再结合第三问求解，为了满足部分客户要求，求得5、6两幢楼的楼层数量的取值范围为不带电梯的套房为55.32%。针对第三题：首先单点日照圆锥的模型，并建立起任意单点被矩形建筑物遮挡的数学模型，给出了其算法——单点算法。这样，给出了地球上任意一点，就能计算出该点在任意一天中的有效日照时间。然后利用遗传算法求解待建建筑物的最大容积问题，较详细的介绍了选择、交叉、变异等遗传算子的具体应用，以及不同的运行参数对结果的影响，用VC程序将算法在计算机上实现时，程序能够在很短的时间内得到结果，运行效率较高。结合实际的平面规划设计的数据，说明了遗传算法在光照约束条件下能够搜索到比较满意的近似最优解，既使得待测窗体能满足日照标准，用最大包络体体积，包络算法求得楼房m2ax634976.36,Vm最大容积2max66.14,hm最大高度max20H最高层数。完成论文后觉得模型有许多需要改进的地方，第一阶段平面布局优化应该考虑借助基于GA的BL算法，鉴于考虑较为复杂且研究水平有限从而简化了模型；针对参数的不同选取会影响算法的效率，同时也能体现出出参数怎样反映算子设计的好坏，从而更好地保持群体的多样性和提高搜索效率，更好的改进遗传算法。关键字：不等式组，单点日照圆锥，遗传算法，包络体一、问题重述大同某小区建筑情况如图1所示（图下方为正南方向），在该小区正南方有一块空地准备建造商品房二期，由于国家法律规定，建筑物的采光应保证冬至日午间满窗日照时间不少于1小时，或者全天有效日照时间累计不少于2小时。二期商品房建造要求：1．面积140平米以上套房66套以上，120平米套房72套以上。2．为了满足部分客户要求，不带电梯的套房不多于60%。问题：如何在这块空地上建造商品房，使得原小区与二期商品房既有较好的采光，且满足建造要求。注：1.已建小区商品房楼层6层，高度19.8，无电梯。二、问题分析该问题涉及建筑日照采光及二期商品房建筑要求，根据题目要求，问题一首先是商品房建设满足面积140平米以上套房66套以上，120平米套房72套以上，问题二考虑不带电梯的套房不多于60%来安排楼房地基坐标，问题三考虑建筑物的采光应保证冬至日午间满窗日照时间不少于1小时，或者全天有效日照时间累计不少于2小时。问题一分析问题一为满足商品房建设不同面积的数量要求，需要对单个楼房建筑物进行合理化组合配置楼房长度，也要考虑到实际应用应满足国家楼房建设标准及防火标准，同时对楼房走廊、电梯、阳台等问题的考虑留有一定的宽度空间来对楼房地基坐标合理化排布。问题二分析问题二在需要满足不带电梯的套房不多于60%时，考虑到在满足采光要求的条件下，需使楼房尽可能的高，使其6层以上的商品房百分比尽可能的大。因而我们将高度最大化作为目标函数优化模型，通过搜索法使其在保证窗户采光时间的约束条件下，寻求最优高度。问题三分析问题三为满足建筑物的采光时间要求，仅需在太阳距离待建商品房最远时（冬至日）满足建筑物采光要求即可，在此将问题简化，使其满足全天有效日照时间累计不少于2小时即可，在此为保证时间内实现整幢建筑物的高度和其最大容积的最优化的约束条件。这也是对问题一的布局也有了较高的要求，这一点可以借助光照分析软件来验证。三、模型假设1)假设太阳一天12小时均能均匀照射且能相对商品楼房做似圆周运动。2）在此仅考虑太阳直射，不考虑商品楼房窗户反光的影响。3）假设楼房走廊、电梯、阳台等问题的考虑留有楼房宽度约5m，楼房宽度为13m，商品房宽度为10m。4）考虑到整体布局统一性，假设二期商品房与原商品房一样，窗向正南，长宽不限。5）假设可根据建筑工程师经验提前给出楼房建造的方案，后在算法求解中优化调整，直至方案达到可行性需求，选择最优化方案。四、符号说明st：太阳时：时角：太阳赤纬角S：斜面与水平面的夹角'S：架空后斜面与水平面的夹角：太阳高度角：地理纬度n：日期（1-365）:d商品楼的楼间间距h：楼房高度五、模型的建立与求解（一）模型的准备（1）地方时的计算：真太阳时和平太阳时：都由时角定义，而时角是从子午圈量起的，对于地面上不同地理经圈的地方，它们的子午圈是不同的，时间也就不同。因此，以地方子午圈为基准所决定的时间，叫做地方时。在同一计量系统内，同一瞬间测得地球上任意两点的地方时刻之差，在数值上等于着两点的地理经度差。精确的地方时与标准时之间的转换关系为004()nnpTTLLE其中：0T——标准时间(我国标准时间是以东经120度作为北京时间的标准)，其单位是时，分；nT——地方时，其单位是时，分；0L——标准时间子午圈所在的经度，其单位是度；nL——当地子午圈所在的经度，其单位是度；pE——标准时差，其单位是分；系数4——换算系数，分／度。经度上每一度对应的是四分钟。对于一般的建筑日照工程，所用的时间不需要十分精确，为了简便计算，标准时差可以忽略不计，故简化为：004()nnTTLL（5-1）（2）角度计算太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。太阳高度角可以使用下面的算式，经由计算得到很好的近似值：,coscoscossinsinsin(5-2)太阳方位角A也可以用时角，太阳赤纬、太阳高度角近似表示为：coscossinsinA(5-3)太阳赤纬角:228423.45sin365n(5-4)时角：15(12)st(5-5)（3）大同市相关资料①地理位置：15′~114°15′，北纬39°00′~40°30′40.1，大同市的地理纬度②冬至日时间选取：12月22日，有效日照时间：7时25分23结束时间：16时34分37③以北京时间为准，推算出大同的正午前后的“时间”：012:00T，0120L，11318nL，由（5-1）得大同太阳正午直射为北京时间nT=11:56，nT=12:56。④房屋建造标准：高层建筑与各种层数住宅间间距[5]不宜小于13米，且各居住宅需满足间距d=0.33*h+12的要求。（二）问题一、二的模型建立与求解针对大同的地理信息，先对商品房的位置、高度范围、楼房间距等进行估算，北京时间12点为正中照射，取为角度零点，每小时转15度，则由（5-5）得对应10.6，28.4由(5-4)得此时太阳赤纬角为23.444567，23.444567。由（5-2）得arcsin(sinsincoscoscos)（5-6）此时的太阳高度角在两个时间分别为153.557，244.378根据棒影原理[4]，即由棒高H与投影平面,计算太阳在不同时间段所产生的阴影长度。先近似给出楼房最低高度19.8hm，由在冬至日时大同市的“正午时间”的太阳高度角得：11/tan14.64dhm，22/tan20.22dhm12tan=0.5tantan=（+）1.17，1/tan16.92dhm这时间距取16.92m较为合适，同理再做一层建筑间隔距离30m。在此根据以上分析和日照仿真软件结合楼房建设的特点，做出如下规划：已建小区商品房楼层6层，高度19.8，则取每层楼3.3m。楼宽均为13m，尽可能接近真实建造，留有三米楼道阳台等。3号楼一层楼由14*13、14*13、12*13三间商品房构成；4号楼一层楼由14*13、12*13、12*13三间商品房构成；5号楼一层楼由14*13、12*13、12*13、12*13三间商品房构成；4号楼一层楼由14*13、14*13、12*13三间商品房构成。设3、4号楼高度相同为L层且L不大于六层，5,6号楼高度相同为H层。所有楼房侧面离最近的道路距离均为7m，且楼房间距符合国家楼房建设和防火建设等的标准[6]。满足商品房建设需求模型的条件：maxI为带电梯的套房六层以上的百分比，根据题意及目标函数和约束条件：max43662472,4(H6)3(H6)3L2324340%16,7,LLHLHILHHLHH、均为自然数（5-7）推得4223182610716HLLHHL由L的取值范围及不等式准则得H15。此时L取前六层最大值6时，H才取最小值15。用sun8.0做俯视图如图5.1所示：图5.1商品房楼层规划俯视图（初）（三）问题三的模型建立与求解（1）问题分析：一是希望所建建筑物的体积能够达到最大，或者说建筑物的容积越大越好，这样就会节约土地，带来更大的经济效益，二是保证周围住宅规定范围内的每个窗体在日照标准日的目采光时间不低于日照标准中的最低时数，能够达到科学采光。针对这两个矛盾问题，待建建筑物的容积越大则对周围住宅的遮挡时间越长，从而使其日采光时间越少。所以要在这二者之间找到一个最优，既使得新建建筑物的容积尽可能的大，又使得周围住宅规定范围内的每个窗体满足日照标准的要求。本文只研究当原有住宅的南向窗体(底层窗台面)在日照标准下满足日采光时间不低于日照标准中的日照时数时，为叙述方便，我们可称原有住宅中要在目照标准日的日采光时间不低于日照标准中的日照时数的窗体为待测窗体。（2）单点日照算法[2]①模型建立图5.2参考日照圆锥图建立一个空间三维坐标系，地平面上指向正东方向的为z轴，指向正南方向的为y轴，垂直地平面向上的为z轴。日照圆锥面方程：000cossinAcosysinxLxyLzLz（1）式中：L--为观测点到日照圆锥面上的点的距离。在太阳从东边升起，西边落下的这个过程中，太阳光线的高度角在当地正午的时候达到最大值，在日出日落的时候为O，而其余时间在最大值和O之间连续变化。所以太阳的高度角与方位角的取值范围为：太阳高度角0,90且太阳方位角180,180A根据（5-2）、（5-3）及式（1）得出：020cossin(sinsinsincoscos)/cosy(sinsincoscoscos)xLxyLzL（2）我们现在假设建筑物是规范的矩形建筑物。将这个建筑物的每面墙当作一个面，而每一个恧又可以分成若干个空阃直线，所以只要知道遮挡建筑的长宽高，就能写出其在空间中的方程，再联合日照圆锥面方程，就能求出这些直线与圆锥的交点。根据求出的交点和观察点的位置，可求出交点对应的方位角也就是太阳经过此点时的方位角，然后通过计算可得到当时太阳的高度角和真太阳时，再通过反三角函数就能求出该点的日照时间和序列。1）直线垂直于XOY面（垂直于地平面）xayb代入式（2）可得0(ax)/cossinL（3）20cos(by)/(sinsinsincoscoscossin)L（4）由式（3）、（4）可得0(ax)/cossin=20cos(by)/(sinsinsincoscoscossin)（5）令：2000(ax)sin(sin1)(by)coscos(ax)sincoscosMNP代入式（5），得sincosMNP由22sincos1化解得22222sinMNPMNPNP所以222122222222arcsinarcsinMNPMNPNPMNPMNPNP2）直线垂直于XOZ面（垂直于